poj3358 Period of an Infinite Binary Expansion 数论有难度
这道题目感觉好难，根本就是无从下手的感觉，尝试了以前的所有方法，都没有思路，毫无进展，参考了一下别人的思路，感觉学到了新的知识
接下来开始分析
观察1/10这组数据，按照二进制转化法可以得到： 1/10 2/104/108/1016/1032/10.……
对于每一个分子进行模10处理 可以相应的得到： 1/102/104/108/106/102/10……
出现了重复，这个重复就是要求的最小循环
对于p/q,首先p'=p/gcd(p,q),q'=q-gcd(p,q),然后求p'*2^i ≡ p'*2^j (mod q'),然后开始变换，p'*2^i*(2^(j-i)-1) ≡ 0 (mod q'),也就是说 q'|p'*2^i*(2^(j-i)-1),因为 gcd(p',q')=1所以q'|2^i*(2^(j-i)-1)
因为2^(j-i)-1肯定为奇数，所以q'有多少个2的幂，i就是多少，而且i就是循环开始前的第一位数字，令q''为q'除去2的幂之后的数，此时q''|2(j-i)-1，实际上就是 求 某个x 使得 2^x ≡ 1(mod q'')；因为q''与2是互诉的，所以肯定有解，令 n=q'', 2^φ(n) ≡ 1 (mod n ),由于题目要求的是 最小的x，看似 φ(n) 是最终解，所以不妨 像poj3696那样大胆假设 x其实是 φ(n)的一个因子，推导符合题目要求，再反过来假设x不是φ(n)的因子， 令r=φ(n)，mod x,r大于0，同时r<x,注意 2^φ(n) ≡ 1(mod n),且 2^x≡ 1(mod n)，所以2^r %n=1,那么就存在一个比x更小的正整数 是的 2^r ≡ 1(mod n),所以 第二个假设失败，所以 x为 φ(n)的因子， 不断的寻找φ(n)的因子 然后判断是否符合题目要求即可
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<list>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<memory.h>
#include<set>
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define inf 0xfffffff
const ll INF = 1ll<<61;
using namespace std;
//vector<pair<int,int> > G;
//typedef pair<int,int > P;
//vector<pair<int,int> > ::iterator iter;
//
//map<ll,int >mp;
//map<ll,int >::iterator p;
//
int a,b,r[112];
int Gcd(int a,int b)
{
return b==0?a:Gcd(b,a%b);
}
void detal(int x,int m)
{
r[0]=x%m;
for(int i=1;i<32;i++)
r[i]=(ll)r[i-1]*r[i-1]%m;
}
int quick(int x,int y,int m)
{
int i=0,ans,j;
int d[50];
while(y)
{
d[i++]=y%2;
y>>=1;
}
for(j=0,ans=1;j<i;++j)
if(d[j])
ans=(ll)ans*r[j]%m;
return ans;
}
int main()
{
int Case=0;
char s[102];
while(~scanf("%s",s))
{
a=0,b=0;
bool flag=false;
for(int i=0;i<strlen(s);i++)
{
if(s[i] != '/' && !flag)
a=a*10+s[i]-'0';
else
flag=true;
if(flag && s[i] != '/')
b=b*10+s[i]-'0';
}
if(a == 0)
{
printf("Case #%d: %d,%d\n",++Case,1,1);
continue;
}
int gcd=Gcd(a,b);
b/=gcd;
int x=0;
while(!(b&1))
{
b>>=1;
x++;
}
x++;
int c[112][2],k=0,a=b,ans=b;
for(int i=2;i*i<=a;i++)
{
if(a%i == 0)
{
ans-=ans/i;
a/=i;
while(a%i == 0)
a/=i;
}
}
if(a > 1)
ans-=ans/a;;
a=ans;
for(int i=2;i*i<=a;i++)
{
if(a%i == 0)
{
c[k][0]=i;
c[k][1]=0;
c[k][1]++;
while(a%i == 0)
{
c[k][1]++;
a/=i;
}
k++;
}
}
if(a > 1)
{
c[k][0]=a;
c[k][1]=1;
k++;
}
detal(2,b);
for(int i=0;i<k;i++)
{
for(int j=0;j<c[i][1];j++)
{
if(quick(2,ans/c[i][0],b) != 1)
break;
ans/=c[i][0];
}
}
printf("Case #%d: %d,%d\n",++Case,x,ans);
}
return EXIT_SUCCESS;
}