数字信号处理_fft做谱分析

实验目的

1. 加深DFT算法原理和基本性质的理解(因为FFT只是DFT的一种快速算法，所以FFT的运算结果必然满足DFT的基本性质)
2. 熟悉FFT算法原理和FFT子程序的应用
3. 学习用FFT对连续信号和时域进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT

实验步骤

例如
$$\begin{gathered} x_1(n)=R_4(n) \\ {x}_2(n)=\{\begin{array}{ll}n+1& (0\le n\le 3)\\ 8-n& (4\le n\le 7)\\ 0& 其他n\end{array} \\ {x}_3(n)=\{\begin{array}{ll}4-n& (0\le n\le 3)\\ n-3& (4\le n\le 7)\\ 0& 其他n\end{array} \\ {x}_4(n)=cos\frac{n\pi }{4} \\ {x}_5(n)=sin\frac{n\pi }{8} \end{gathered}$$
逐个进行谱分析。下面给出针对各信号的FFT变换区间N，以及对连续信号$x_6(t)$的抽样频率$f_s$；
$$\begin{gathered} x_i(n)(i=1\sim 5):N=8,16 \\ {f}_s=64Hz,N=16,32,64 \end{gathered}$$

要求

结合试验中所给得给定典型序列幅频特性曲线，与理论结果比较，并分析说明误差产生的原因以及用FFT做谱分析有关参数的选择方法

思考

• 在$N=8$时，$x_2(n)$和$x_3(n)$的幅频特性会相同吗？为什么？在$N=16$时呢？

在N=8时，序列$x_2(n)$与$x_3(n)$的幅频特性一样，因为fft的取样区间与原序列周期相同，那么那么fft之后结果就是一个为N点的复数，fft变换之后每一个点对应一个频率点，这个点的模值就是该频率下的幅度特性，而在$N=16$时，那么fft变换的有些采样点不在原序列频率点上，那些点幅度变大。

下面是$N=16$变换后的序列2、3的值

20.0000000000000 + 0.00000000000000i	3.01366974606292 - 15.1507409306070i	-5.82842712474619 - 2.41421356237310i	-0.248302881332744 + 0.371611523089030i	0.00000000000000 + 0.00000000000000i	0.834089318959649 - 0.557320665045494i	-0.171572875253810 - 0.414213562373095i	0.400543816310171 - 0.0796731187415389i	0.00000000000000 + 0.00000000000000i	0.400543816310171 + 0.0796731187415389i	-0.171572875253810 + 0.414213562373095i	0.834089318959649 + 0.557320665045494i	0.00000000000000 + 0.00000000000000i	-0.248302881332744 - 0.371611523089030i	-5.82842712474619 + 2.41421356237310i	3.01366974606292 + 15.1507409306070i

20.0000000000000 + 0.00000000000000i	1.98633025393708 - 9.98595653002223i	5.82842712474619 + 2.41421356237310i	5.24830288133274 - 7.85464033641648i	0.00000000000000 + 0.00000000000000i	4.16591068104035 - 2.78357252455100i	0.171572875253810 + 0.414213562373095i	4.59945618368983 - 0.914888718156751i	0.00000000000000 + 0.00000000000000i	4.59945618368983 + 0.914888718156751i	0.171572875253810 - 0.414213562373095i	4.16591068104035 + 2.78357252455100i	0.00000000000000 + 0.00000000000000i	5.24830288133274 + 7.85464033641648i	5.82842712474619 - 2.41421356237310i	1.98633025393708 + 9.98595653002223i

• 如果周期信号的周期预先不知道，如何用FFT做频谱分析？

可以根据采样定理对它进行2倍于最大频率的抽样，再用fft进行频谱分析

代码实现

序列的幅频特性

在利用FFT对模拟信号进行谱分析时，应将模拟信号离散化以得到离散时间信号。

根据取样定理，为避免混叠失真：(取样频率$f_s$；连续时间信号的最高频率$f_0$)
$$f_s\ge 2f_0或T\le \frac{1}{2f_0}$$

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• 序列1

$$x_1(n)=R_4(n)$$

n=-5:5;
x=[n>=0&n<=3];%0<=n<=3时x=1
subplot(2,2,1);
stem(n,x,'filled');
axis([-5 5 0 1.1*max(x)]);
xlabel('n');ylabel('x(n)');
xk=fft(x);%快速dft
subplot(2,2,2);
plot(n,fftshift(abs(xk)));%通过将零频分量移动到数组中心，重新排列傅里叶变换X。
axis([-5 5 0 inf]);
title('频域信号');

magx=abs(xk);%幅度
subplot(2,2,3);
plot(n,magx);
title('幅频特性');
subplot(2,2,4);
angx=angle(xk);%相位
plot(n,angx);
title('相频特性');

n=-5:5;
x=[n>=0&n<=3];%0<=n<=3时x=1
xn=x(:,6:9);
k1=0:7;
k2=0:15;
subplot(2,2,1);
stem([0:3],xn,'filled');
axis([-5 5 0 1.1*max(x)]);
xlabel('n');ylabel('x(n)');
xk1=fft(xn,8);%返回序列周期N=8
xk2=fft(xn,16);%返回序列周期N=16
subplot(2,2,2);
%通过将零频分量移动到数组中心，重新排列傅里叶变换 X。
plot(k1,fftshift(abs(xk1)));
title('返回N=8的DFT')
subplot(2,2,3);
plot(k2,fftshift(abs(xk2)));
title('返回N=16的DFT')

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• 序列2

$$x_2(n)=\{\begin{array}{ll}n+1& (0\le n\le 3)\\ 8-n& (4\le n\le 7)\\ 0& 其他n\end{array}$$

%序列x2(n)
n1=0:3;
x1=n1+1;
n2=4:7;
x2=8-n2;
x=[x1 x2];
subplot(2,2,1),stem([0:7],x,'filled'),title('x2(n)');
axis([0 7 0 1.1*max(x)]);
%fft
xk=fft(x);
subplot(2,2,2);
plot([n1 n2],fftshift(abs(xk)));
axis([0 7 0 inf]);
title('频域信号');
%N=16的fft
xk16=fft(x,16);
subplot(2,2,3);
plot(0:15,fftshift(abs(xk16)));
axis([0 15 0 inf]);
title('N=16的频域信号');
%幅频特性
magx=abs(xk);%幅度
subplot(2,2,4);
plot([n1 n2],magx);
axis([0 7 0 1.1*max(magx)]);
title('幅频特性');

---

• 序列3

$$x_3(n)=\{\begin{array}{ll}4-n& (0\le n\le 3)\\ n-3& (4\le n\le 7)\\ 0& 其他n\end{array}$$

从序列结构来看与序列2可以说是一样的，MATLAB代码几乎一样，直接上结果：

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• 序列4

$$x_4(n)=cos\frac{n\pi }{4}$$

%序列x4(n)
n=-3:3;
x=cos(n*pi/4);
subplot(2,2,1);
stem([-3:3],x,'filled'),title('x2(n)');
axis([-3 3 -1.1 1.1]);
%N=8的fft
xk=fft(x,8);
subplot(2,2,2);
plot([0:7],fftshift(abs(xk)));
%axis([0 7 0 inf]);
title('N=8的频域信号');
%N=16的fft
xk16=fft(x,16);
subplot(2,2,3);
plot(0:15,fftshift(abs(xk16)));
axis([0 15 0 inf]);
title('N=16的频域信号');

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• 序列5

$$x_5(n)=sin\frac{n\pi }{8}$$

%把序列4的第三行改成下面
x=sin(n*pi/8);

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• 序列6

$$\begin{gathered} 连续信号x_6(n) \\ {f}_s=64Hz,N=16,32,64 \end{gathered}$$

序列6的取样频率$f_s=64hz$，那么为了防止出现混叠现象，$x_6(n)$的最高频率最好$f_0\le 32hz$

那么取样周期：
$$T=\frac{1}{f_s}=\frac{1}{64}s\approx 0.02s$$
频率分辨率：
$$F\ge \frac{2f_0}{N}=4、2、1(N=16,32,64)$$
我们假设模拟信号
$$x(t)=sint$$

%序列x6(n)
%需要传入取样点数N
function dsp_demo1(N)
fs=64;T=1/fs;
n=0:N-1;
x=sin(n*T);%模拟信号取样
xn=fft(x,N);
magx=abs(xn);
subplot(2,1,1);
stem(n,x,'filled');title('序列X6(n)');axis([0 N 0 1]);
subplot(2,1,2);
plot(n,magx);title('幅频特性');axis([0 N 0 1.1*sum(magx)]);
end

dsp_demo1(16)

dsp_demo1(32)

dsp_demo1(64)

小结

• 误差分析

周期序列的截断误差与计算机的舍入误差

采样频率不合适时的混叠与泄露

• fft谱分析有关参数的选择方法

对模拟信号谱分析，应该通过采样定理将模拟信号转换成数字信号$x(n)$，参数：
$$\begin{gathered} f_s\ge 2f_0或T\le \frac{1}{2f_0} \\ F=\frac{2f_0}{N} \end{gathered}$$
其中采样频率$f_s$；最大频率$f_0$；采样周期$T$；采样点数$N$；频率分辨率$F$