4.1 费马质数分解

  RSA算法的基础就是对于两个大质数的乘积进行质因数分解是非常慢的。比如对于一个300位的十进制数字进行质因数分解，普通电脑需要上百万年时间。但是如果这两个大质数比较接近，那使用费马质数分解就不需要几百万年了。
  对于一个奇合数$n=p\cdot q$，可以写成一个平方差：
$$n=p\cdot q=(\frac{p+q}{2}{)}^2-(\frac{p-q}{2}{)}^2$$
  费马质因数分解算法，就是不停地循环尝试，找到两个数：
$$\begin{gathered} a=\frac{p+q}{2} \\ b=\frac{p-q}{2} \end{gathered}$$
  找到这两个数之后$a+b$和$a-b$就是p和q了。我们知道$n=a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。我们让a从$\lceil \sqrt{n}\rceil$开始尝试，不断+1，直到$a^2-n$是一个平方数为止。
  需要注意的是这对于奇合数才有用，因为偶数的话，分解出来的两个数如果是一奇一偶，则相加除于2不是一个整数。单次分解的复杂度是$O(|p-q|)$，在实际应用中费马质数分解的效率其实不高，因为实际上两个质因数相近（$|p-q|$比较小）的情况是比较少见的。
  Python代码如下：

# _*_ coding:utf-8 _*_
import math


def fermat(n):
    a = math.ceil(math.sqrt(n))
    # b的平方
    b2 = a * a - n
    b = round(math.sqrt(b2))
    while b * b != b2:
        a += 1
        b2 = a * a - n
        b = round(math.sqrt(b2))
    print(a, b, n)
    return a - b, a + b


def factorization(n):
    factors = []
    stack = [n]
    while len(stack) > 0:
        x = stack.pop()
        if x == 2:
            factors.insert(0, x)
            continue
        p, q = fermat(x) if x & 1 == 1 else (2, x // 2)
        if p == 1:
            factors.insert(0, q)
        else:
            stack.append(p)
            stack.append(q)
    return factors


if __name__ == '__main__':
    print(factorization(200))

  测试结果为：

[2, 2, 2, 5, 5]