AtCoder Beginner Contest 204 赛后补题

E - Rush Hour 2

题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc204/tasks/abc204_e

题意

给定一张无向图，一个人时刻$t$从一个点走到另一个点需要使用$C_i+\lfloor \frac{D_i}{t+1}\rfloor$的时间。起点是1号点，终点是n号点，起始时刻是0，可以在某一点等待任意秒后再出发。求从起点到终点的最短时间。

思路

设到达$u$点的时刻为$t$,下一个点是$v$,设在u点等待了$x$秒，那么到下一个点的时刻
$f(x)=x+C_i+\lfloor \frac{D_i}{t+1+x}\rfloor$, 其中$C_i$、$D_i$与$t$是常数。看到这个函数， 很容易陷入一个误区，那就是认为$f(x)$是一个凸函数(对勾函数),然后三分求解。但实际上由于取整函数的原因，$f(x)$不连续，真实的$f(x)$的图像如下：
真实的函数由若干斜率为1的直线构成，所以正确的做法应该是取$x=\sqrt{D_i}-t-1$（均值不等式）,然后在x的邻域搜索最小的$t$,然后跑一边堆优化迪杰斯特拉即可。

代码如下：

#include
using namespace std;
const int N = 2e5 + 5;
#define int long long
int e[N], h[N], idx, c[N], d[N], dist[N], ne[N];
bool st[N];
using pii = pair<int, int>;
void add(int a, int b, int C, int D){
    e[idx] = b, c[idx] = C, d[idx] = D, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
void dij(){
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii> >q;
    q.push({0, 1});
    while(q.size()){
        int t = q.top().second;
        q.pop();
        if(st[t]) continue;
        st[t] = 1;
        for(int i = h[t];~i;i = ne[i]){
            int j = e[i];
            int x = c[i] + d[i] / (dist[t] + 1);
            for (int _ =  max((int)sqrt(d[i]) - 3 - dist[t], 0ll); _ <= sqrt(d[i]) + 3 - dist[t]; ++ _){
                if (_ < dist[t]) continue;
                x = min(_ + c[i] + d[i] / (_ + dist[t] + 1), x);
            }
                if(dist[j] > dist[t] + x){
                dist[j] = x + dist[t];
                q.push({dist[j], j});
            }
        }
    }
}
signed main(){
    memset(h, -1, sizeof h);
    int n, m;
    scanf("%lld%lld", &n, &m);
    for(int i = 0;i < m; i++){
        int a, b, C, D;
        scanf("%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &C, &D);
        add(a, b, C, D);
        add(b, a, C, D);
    }
    dij();
    cout << (dist[n] == 0x3f3f3f3f3f3f3f3f ? -1 : dist[n]);
    return 0;
}X