hdu 3507 Print Article (DP, Monotone Queue)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3507

斜率优化的DP，完全是看资料做出来的。下面给出资料中对两个结论的证明：

 

对基本公式f[i]=min{f[j]+(s[i]-s[j])^2+M}，取i的两个一般决策点j,k(j<k)，s[i]为1..i的cost总和，因为cost非负，所以s随i不减。

 

若k优于j，则f[k]+(s[i]-s[k])^2+M<f[j]+(s[i]-s[j])^2+M，化简得f[k]-f[j]+s[k]^2-s[j]^2<2*s[i]*(s[k]-s[j])。

 

由于j<k，则s[k]>s[j]，两边同除s[k]-s[j]得(f[k]-f[j]+s[k]^2-s[j]^2)/(s[k]-s[j])<2*s[i]。 

 

方便起见,我们将左边分式的分子分母同时变号(f[j]-f[k]+s[j]^2-s[k]^2)/(s[j]-s[k])<2*s[i]。

 

可以看到不等式左边与i无关,右边只与i有关。 记slope[j,k]=(f[j]-f[k]+s[j]^2-s[k]^2)/(s[j]-s[k])。

 

结论1：

 

对于i的两个决策点j,k(j<k)，决策k优于决策j就等价于slope[j,k]<2*s[i]。

 

其实我们还可以知道，决策点k永远会比决策点j优，因为对于以后的i',s[i']>s[i]>slope[j,k]。

 

再来考虑三个点j,k,l(j<k<l)之间的优劣关系。

还是通过斜率:

如果slope[j,k]>slope[k,l]：

1.若slope[k,l]<2*s[i]，那么由之前的结论1，l 比k优。

2.若slope[k,l]>2*s[i]，则slope[j,k]>2*s[i]，那么由之前的结论(△),决策j不比k差。

综上，如果slope[j,k]>slope[k,l]，k是可以淘汰掉的。

结论2：

对于三个决策点j,k,l(j<k<l),如果slope[j,k]>slope[k,l],那么k永远不会成为某个点的最优决策。

 

根据这两个结论，用一个单调队列来剔除无用决策。

code:

#include<cstdio>
long  long dp[ 500001] ;
int queue[ 500001] ;
long  long sum[ 500001] ;
int slope( int j,  int k){
     if(sum[j]==sum[k])
         if(dp[j]>dp[k])  return - 1 ;
         else     return  2147483647 ;
     return (dp[j]-dp[k]+sum[j]*sum[j]-sum[k]*sum[k])/(sum[j]-sum[k]) ;
}
int main(){
     int n, m, h, r ;
     while(~scanf( " %d%d ", &n, &m)){
        sum[ 0] =  0 ;
         for( int i= 1; i<=n; i++){
            scanf( " %lld ", &sum[i]) ;
            sum[i] += sum[i- 1] ;
        }
        h = r =  0 ;
         for( int i= 1; i<=n; i++){
             while(h<r&&slope(queue[h], queue[h+ 1])< 2*sum[i])  h ++ ; // 结论1
            dp[i] = dp[queue[h]] + (sum[i]-sum[queue[h]]) * (sum[i]-sum[queue[h]]) + m ;
             while(h<r&&slope(queue[r- 1], queue[r])>slope(queue[r], i))  r -- ; // 结论2
            r ++ ;
            queue[r] = i ;
        }
        printf( " %lld\n ", dp[n]) ;
    }
     return  0 ;

}