第三天：最大公因数和最小公倍数（c语言）

今天我们的主要内容是最大公因数和最小公倍数的求解方法：

一、最大公因数

（1）更相减损法

更相减损法：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

（2）辗转相除法

辗转相除法：欧几里得算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。古希腊数学家欧几里得在其著作《The Elements》中最早描述了这种算法,所以被命名为欧几里得算法。

假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,使用欧几里得算法:
1997 / 615 = 3 (余 152)
615 / 152 = 4(余7)
152 / 7 = 21(余5)
7 / 5 = 1 (余2)
5 / 2 = 2 (余1)
2 / 1 = 2 (余0)
则最大公约数为1

✈️ ✈️ 结果： 以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1。

（3）穷举法

穷举法：比如求a，b的最大公约数。a和b的最大公约数不可能比a和b中的较小者还大，否则一定不能整除它，因此，先找到a和b中的较小者t，然后从t开始逐次减1尝试每种可能，即检验t到1之间的所有整数，第一个满足公约条件的t，就是a和b的最大公约数。

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注意❗️ ❗️

更相减损法和辗转相除法的主要区别在于前者所使用的运算是“减”，后者是“除”。从算法思想上看，两者并没有本质上的区别，但是在计算过程中，如果遇到一个数很大，另一个数比较小的情况，可能要进行很多次减法才能达到一次除法的效果，从而使得算法的时间复杂度退化为O(N)，其中N是原先的两个数中较大的一个。相比之下，辗转相除法的时间复杂度稳定于O(logN)。

代码⬇️ ⬇️ ：

#include
#include

//方法一：更相减损法
int modified_subtraction(int num1, int num2)
{
	assert(num1 > 0 && num2 > 0);

	while (num1 != num2)
	{	
		if (num1 > num2)
		{
			num1 -= num2;
		}
		else
		{
			num2 -= num1;
		}
	}
	return num1;
}

//方法二：辗转相除法
int rolling_division(int num1, int num2)
{
	assert(num1 > 0 && num2 > 0);

	int tmp = num2;
	while (num1 % num2)
	{
		tmp = num1 % num2;
		num1 = num2;
		num2 = tmp;
	}
	return tmp;
}

//方法三：穷举法
int exhaustive(int num1, int num2)
{
	assert(num1 > 0 && num2 > 0);

	int min = 0;
	//选出较小的那个数字
	if (num1 > num2)
	{
		min = num2;
	}
	else
	{
		min = num1;
	}

	for (int i = min; i > 0; i--)
	{
		if (num1 % i == 0 && num2 % i == 0)
		{
			return i;
		}
	}
}

int main()
{
	int num1 = 0;
	int num2 = 0;
	scanf("%d%d", &num1, &num2);

	//方法一：更相减损法
	int ret1 = modified_subtraction(num1, num2);
	//方法二：辗转相除法
	int ret2 = rolling_division(num1, num2);
	//方法三：穷举法
	int ret3 = exhaustive(num1, num2);

	printf("更相减损法:->%d\n", ret1);
	printf("辗转相除法:->%d\n", ret2);
	printf("穷举法    :->%d\n", ret3);

	return 0;
}

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二、最小公倍数

✏️ 在求解最小公倍数时，我们使用穷举法。

代码⬇️ ⬇️ ：

#include
#include

int exhaustive(int num1, int num2)
{
	assert(num1 > 0 && num2 > 0);
	//求出较大值
	int i = num1;
	if (num1 > num2)
	{
		i = num1;
	}
	else
	{
		i = num2;
	}

	//不停的自增，直到增大到取模为0时
	while (i % num1 != 0 || i % num2 != 0)
	{
		i++;
	}

	return i;
}

int main()
{
	int num1 = 0;
	int num2 = 0;
	scanf("%d%d", &num1, &num2);

	int ret = exhaustive(num1, num2);
	printf("num1和num2的最小公倍数为:->%d\n", ret);
	return 0;
}

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今天的内容到这里就结束了，希望对小伙伴们能够有所帮助。