树与二叉树

目录

树的概念

二叉树的概念

基本概念

性质

特殊情况

满二叉树

完全二叉树

二叉树遍历

先序遍历

中序遍历

后序遍历

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树的概念

1.节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度
2.树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度
3.叶节点或终端节点：度为0的节点
4.父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点 称为其子节点的父节点
5.孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点
6.兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点
7.节点的层次：从根开始定义起，根为第一层， 根的子节点为第二层，以此类推
8.树的高度或深度：树中节点的最大层次
9.（九）堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟节点
10.节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点
11.子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙
12.森林：由m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林

树的种类
1.无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树
2.有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树

二叉树的概念

基本概念

二叉树是最基本的树形结构。自上而下按层次不断分支，左分支被称作左子树，右分支被称作右子树。两个拥有共同父节点的节点被称为兄弟节点。如一个节点没有下层子节点，则称之为叶子节点。

一棵二叉树是节点的一个有限集合，该集合或者为空，或者由一个根节点加上两棵左子树和右子树组成。特殊的，当n = 0 时称为空树。

1. 每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2. 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
3. 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

结点是数据结构中的基础，是构成复杂数据结构的基本组成单位。二叉树基本形式如下：

性质

1. 在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。（i>=1）
2. 二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1）
3.  n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数，n2表示度数为2的节点数。
4. 在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。
5. 若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：

1. 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
2. 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
3. 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

特殊情况

满二叉树

满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

满二叉树的性质：
1. 叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
2. 非叶子结点的度一定是2。
3. 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

完全二叉树

完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

完全二叉树的性质
1. 叶子结点只能出现在最下层和次下层。
2. 最下层的叶子结点集中在树的左部。
3. 倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
4. 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
5. 同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。
特别地，满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树。

二叉树遍历

先序遍历

先序遍历根节点，再遍历左子树，再遍历右子树。

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中序遍历

先遍历左子树，再遍历右子树，最后遍历根节点。

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后序遍历

后序遍历先遍历左子树，再遍历右子树，再遍历根节点。

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