数论变换相关整理

常用模数

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$$\begin{array}{rlr}& p=998244353=7\times 17\times 2^{23}+1& ,g=3\\ & p=1004535809=479\times 2^{21}+1& ,g=3\end{array}$$

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可能用到的模数

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p                   r   k   g
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3                   1   1   2
5                   1   2   2
17                  1   4   3
97                  3   5   5
193                 3   6   5
257                 1   8   3
7681                15  9   17
12289               3   12  11
40961               5   13  3
65537               1   16  3
786433              3   18  10
5767169             11  19  3
7340033             7   20  3
23068673            11  21  3
104857601           25  22  3
167772161           5   25  3
469762049           7   26  3
998244353           119 23  3
1004535809          479 21  3
2013265921          15  27  31
2281701377          17  27  3
3221225473          3   30  5
75161927681         35  31  3
77309411329         9   33  7
206158430209        3   36  22
2061584302081       15  37  7
2748779069441       5   39  3
6597069766657       3   41  5
39582418599937      9   42  5
79164837199873      9   43  5
263882790666241     15  44  7
1231453023109121    35  45  3
1337006139375617    19  46  3
3799912185593857    27  47  5
4222124650659841    15  48  19
7881299347898369    7   50  6
31525197391593473   7   52  3
180143985094819841  5   55  6
1945555039024054273 27  56  5
4179340454199820289 29  57  3

  对于上表中出现的数字，都有 $p$ 是一个质数，且 $p=r\times 2^k+1$，$g$ 模 $p$ 的阶等于 $\phi (p)$。

  表中部分模数 摘自此

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  前置知识 快速傅里叶变换

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数论变换

^{Number-theoretic transform}

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  数论变换是一种快速计算卷积的算法，虽然我们都知道，计算卷积的快速算法，最常用的就是傅里叶变换。

  但傅里叶变换有着目前计算机无法忽视的缺点：

  速度、精度。

  一个参与傅里叶变换的多项式，每一项系数都要转换为浮点型的复数，乘上一个复数矩阵，而每一个复数的实部虚部都是一个余弦正弦函数，庞大的浮点数计算量带来了误差和时耗。

  而数论变换是在整数上的变化，只会将参与变化的多项式原原本本的乘上一个整数矩阵，不过最终的结果会是卷积模上一个指定的整数，这与能处理任何复数的傅里叶变换不同，

  在信奥赛中，我们通常使用快速数论变换 ($\mathrm{N}\mathrm{T}\mathrm{T}$) 来加速带模数的多项式乘法。

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  定义多项式 $f(x)$ 的 $x^i$ 项上的系数为 $f[i]=a_i$，度数为 $N-1$，则对 $f$ 模 $p$ 的 $\mathrm{N}\mathrm{T}\mathrm{T}$ 为：$$F(x)|F[k]=\sum _{n=0}^{N-1}f[n]{\alpha }^{nk}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)k=0,1,2,\cdots ,N$$  而对 $F$ 的逆数论变换为：$$f(x)|f[k]=N^{-1}\sum _{n=0}^{N-1}F[n]{\alpha }^{-nk}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)k=0,1,2,\cdots ,N$$  这与 $\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}$ 形式。

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快速数论变换

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  在复数上，我们通过单位根的性质可以做到快速傅里叶变换，而在群上，同样有一种神奇的数字。

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预备知识

^{getting started}

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群

^group

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  在数学中，群是由一个集合 $G$ 以及一个二元关系 $\cdot$ 组成的代数结构，且满足：

  封闭性：若有 $a,b\in G$，则 $a,b$ 满足 $a\cdot b\in G$。
  结合律：若有 $a,b,c\in G$，则 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$。
  单位元：$G$ 中存在一个元素 $e$，对 $G$ 中的每一个元素 $a$ 都有 $e\cdot a=a\cdot e=a$。
  逆元：对 $G$ 中的每一个元素 $a$，总存在一个元素 $b$，满足 $a\cdot b=b\cdot a=e$。

  则我们称 $(G,\cdot )$ 为一个群，比如整数集 $\mathbb{Z}$ 与加法 $+$ 构成一个群。

  而我们熟悉的 $a$ 模 $n$ 的乘法逆元，就是集合 ${\mathbb{Z}}_n=\{a|\gcd (a,n)=1\}$ 构成的群 $({\mathbb{Z}}_n,\times )$ 上 $a$ 的逆元。

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阶

^order

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  在群 $G$ 上，$a$ 的阶指的是一个最小的正整数 $d$，$d$ 满足 $x^d=e$，记为$${\mathrm{ord}}_G(a)=d$$

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原根

^{primitive root}

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  若群 $G$ 存在元素 $g$，使得 ${\mathrm{ord}}_n(g)=|G|$，则称 $g$ 为 $G$ 的一个原根。

  对于群 ${\mathbb{Z}}_p^{\times }=(\mathbb{Z},\times (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p))$，$p$ 为质数，设 $g$ 为 ${\mathbb{Z}}_p^{\times }$ 的一个原根，则 $g^i\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1)$ 只在 $i=p-1$ 时成立。

  而 $g^i\mathrm{mod}p$，$0<i<p$ 的结果各不相同。

  略证：

  若存在 $0<j<i$ 使得 $g^j=g^i$，则 $g^{p-1-i+j}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，与原根定义相悖。$\square$

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原根的性质

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  令 $n=2^{n^{\prime }}$，$n^{\prime }>0$ 且 $n|(p-1)$。

  令 $g_n=g^{\frac{p-1}{n}}$，我们会发现，$g_n$ 上具备一些单位根的性质，而这正是我们快速数论变换所需要的。

  $g_n^0=g_n^n=1$

  $g_{2n}^{n+k}=-g_{2n}^k$

  $g_{2n}^{2k}=g_n^k$

  同样简单推算一下式 $2$：

  $g_{2n}^{n+k}=g_{2n}^n{g}_{2n}^k$，$g_{2n}^n=g^{\frac{p-1}{2}}=-1$，$g_{2n}^{n+k}=-g_{2n}^k$。

  中间式子涉及到一个非平凡平方根的概念，笔者在 这篇博客 中有简单提到过，当然也可以继续从原根的定义出发，去推导、理解它。

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NTT

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  至此，我们发现，小改一下 $\mathrm{F}\mathrm{F}\mathrm{T}$ 的模板，就能实现快速 $\mathrm{N}\mathrm{T}\mathrm{T}$ 了。

  不过在原根的性质里笔者提到 $n$ 需满足 $n|(p-1)$，故能进行 模 $p$ $\mathrm{N}\mathrm{T}\mathrm{T}$ 的多项式长度会有一定限制，具体可以查阅开篇给定的数表。

// 歇会