1823.找出游戏的获胜者(约瑟夫环问题)

1823. 找出游戏的获胜者

 

方法一：模拟 + 队列

时间O(NM)，空间O(N)(队列)

class Solution {  //队列 + 模拟
    public int findTheWinner(int n, int k) {
        Queue queue = new ArrayDeque();
        for (int i = 1; i <= n; i++)  queue.offer(i);  //入队
        while (queue.size() > 1) {
            for (int i = 1; i < k; i++) {
                queue.offer(queue.poll());
            }
            queue.poll();
        }
        return queue.peek();
    }
}

方法二：数学 + 迭代(推荐)

递推公式：

f(N , M) = (f(N − 1 , M) + M) % N

f(N , M)表示，N个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号。
f (N − 1 , M) 表示，N-1个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号。

时间O(N)，空间O(1)

问题1： 假设我们已经知道11个人时，胜利者的下标位置为6。那下一轮10个人时，胜利者的下标位置为多少？
答： 其实吧，第一轮删掉编号为3的人后，之后的人都往前面移动了3位，胜利这也往前移动了3位，所以他的下标位置由6变成3。

问题2： 假设我们已经知道10个人时，胜利者的下标位置为3。那下一轮11个人时，胜利者的下标位置为多少？
答： 这可以看错是上一个问题的逆过程，大家都往后移动3位，所以f (11 , 3) = f (10 , 3) + 3。不过有可能数组会越界，所以最后模上当前人数的个数，f (11 , 3) = (f (10 , 3) + 3）% 11

问题3： 现在改为人数改为N，报到M时，把那个人杀掉，那么数组是怎么移动的？
答： 每杀掉一个人，下一个人成为头，相当于把数组向前移动M位。若已知N-1个人时，胜利者的下标位置位f ( N − 1 , M )，则N个人的时候，就是往后移动M为，(因为有可能数组越界，超过的部分会被接到头上，所以还要模N)，既f (N , M) = ( f(N−1, M) + M) % n。

class Solution {
    public int findTheWinner(int n, int k) {
        int p = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            p = (p + k) % i;
        }
        return p + 1;
    }
}

方法三：数学公式 + 递归

递推公式：

f(N , M) = (f(N − 1 , M) + M) % N

时间O(N)，空间O(N)(递归栈)

class Solution {
    public int findTheWinner(int n, int k) {
        if (n == 1)  return 1;
        return (findTheWinner(n-1, k) + k - 1) % n + 1;
    }
}