Trie字典树

Trie 是一种用于实现字符串快速检索的多叉树结构。Trie的每个结点都拥有若干个字符指针，若在插入或检索字符串时扫描到一个字符c，就沿着当前节点的c字符指针，走向该指针的结点。
一篇清晰好懂的博文： Trie树（字典树，单词查找树）

字典树适用于处理一些字符串问题（某些时候跟哈希的用处有点像），还有一些异或问题。

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P2580 于是他错误的点名开始了

先把名单上的所有名字存放到字典树里，每念一个名字查找一下，字典树末端指针指向的结点中的num用于记录点到这里的次数，这样每次到结尾时根据num可以判断是否重复，如果不能顺利走到尾的话说明念错了。

#include
using namespace std;

struct Node
{
	int son[30];
	int num;
}node[500010];
int n,m,now;

void insert(string s)
{
	int p=0,len=s.size();
	for(int i=0;i<len;i++)
	{
		if(node[p].son[s[i]-'a']==0)
			node[p].son[s[i]-'a']=++now;
		p=node[p].son[s[i]-'a'];
	}
}

int find(string s) 
{
	int p=0,len=s.size();
	for(int i=0;i<len;i++)
	{
		if(node[p].son[s[i]-'a']==0)
			return 0;
		p=node[p].son[s[i]-'a'];
	}
	node[p].num++;
	return node[p].num;
}
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		string str;
		cin>>str;
		insert(str);
	}
	cin>>m;
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		string name;
		cin>>name;
		int ans=find(name);
		//cout<<"ans:"<
		if(ans==1) printf("OK\n");
		if(ans==0) printf("WRONG\n");
		if(ans>=2) printf("REPEAT\n");
	}
    return 0;
}

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P5149 会议座位

看题目的描述很容易联想到当时学的归并排序求逆序对数，但是这里并不是一些有大小顺序的数而是很多字符串，怎么办呢？

$f(string)->number$

我们可以采取很多种映射的办法，最直接的是map，其他的一些比如哈希等，这里采用字典树，插入时走到字符串末尾时给每个字符串一个编号，重排之后原有的顺序被打乱，归并排序的时候顺便求一下逆序对数就好啦。

#include
using namespace std;

const int N=5e5+10;
int n,tot,trie[N][100],a[N],b[N],temp[N];
long long ans;
void insert(string s,int x)
{
	int p=0,len=s.size();
	for(int i=0;i<len;i++)
	{
		if(!trie[p][s[i]-'A'])
			trie[p][s[i]-'A']=++tot;
		p=trie[p][s[i]-'A'];
	}
	a[p]=x;
}

void query(string s,int x)
{
	int p=0,len=s.size();
	for(int i=0;i<len;i++)
		p=trie[p][s[i]-'A'];
	b[x]=a[p];
}

void merge_sort(int l,int r)
{
	if(l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	merge_sort(l,mid);
	merge_sort(mid+1,r);
	int i=l,j=mid+1,k=l;
	while(i<=mid&&j<=r)
	{
		if(b[i]<=b[j]) temp[k++]=b[i++];
		else temp[k++]=b[j++],ans+=mid-i+1;
	}
	while(i<=mid) temp[k++]=b[i++];
    while(j<=r) temp[k++]=b[j++];
    for(int p=l;p<=r;p++) b[p]=temp[p];
}
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		string name;
		cin>>name;
		insert(name,i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		string name;
		cin>>name;
		query(name,i);
	}
	//for(int i=1;i<=n;i++)
		//cout<
	merge_sort(1,n);
    cout<<ans;
    return 0;
}

以上两题是在字典树中插入字符串。如果要解决异或问题的话，实际上是把二进制数看作01串插到字典树中，靠近树梢的一般是较高位，它们权重比较大，如果位高权重的说话了，靠近树梢的就可以闭嘴了>_<（bushi）

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143. 最大异或对

暴力的做法是对于每一个数，枚举其他所有数，求出(n-1)个异或值，有了字典树之后可以快速找到跟当前数异或值最大的那个。把这些01串都插入字典树，然后枚举这n个数，在这n个数对应找出的异或值中选最大的就行了。
怎么找到一个数对应的最大异或值呢？从高位（树根）开始每次都进入反子树（比如101011，第一次进入0子树，第二次进入1子树，第三次进入0子树，以此类推），如果想要进入的子树为空的话就迫不得已进入同子树。这样可以尽可能地选取到异或值大的数。每向下移一层，异或值乘2，如果进入反子树异或值加1。

#include
using namespace std;

const int N=1e5+10;
int n,trie[N*32][2],tot,a[N];
int maxn=0;

inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}

void insert(int x)
{
	int p=0;
	for(int i=31;i>=0;i--)
	{
		int t=(x>>i)&1;
		if(!trie[p][t])
			trie[p][t]=++tot;
		p=trie[p][t];
	}
}

int query(int x)
{
	int q=0,ans=0,t;
	for(int i=31;i>=0;i--)
	{
		t=(x>>i)&1;//取出当前位
		if(!trie[q][!t])//反子树为空
		{
			q=trie[q][t];
			ans<<=1;
		}
		else
		{
			q=trie[q][!t];//进入反子树
			ans<<=1;
			ans+=1;//0^1=1
		}
	} 
	return ans;
}
int main()
{
	n=read();
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		a[i]=read();
		insert(a[i]);
	}
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		int temp=query(a[i]);
		maxn=max(maxn,temp);
	}
	cout<<maxn;
    return 0;
}

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P4551 最长异或路径

设a[x]表示根结点到x的路径上所有边权的异或值

$a[x]=a[father(x){]}^{w}eight(x,father(x))$

可以先DFS求出所有的a[x]，则任意两个结点x,y路径上所有边权的异或值就等于a[x]^a[y]，问题转化成从a[1]~a[n]这n个数中选两个，求最大异或值，同上一道题。

#include

using namespace std;

const int N=1e5+10;
int n,nex[N*2],head[N*2],val[N*2],a[N],to[N*2],k;
int trie[N<<4][2],tot;
int maxn=0;
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}

void add(int x,int y,int w)
{
	to[++k]=y;
	nex[k]=head[x];
	head[x]=k;
	val[k]=w;	
}

void dfs(int x,int fa)
{
	for(int i=head[x];i;i=nex[i])
	{
		int y=to[i];
		if(y==fa) continue;
		a[y]=(val[i]^a[x]);
		dfs(y,x);
	}
}

void insert(int x)
{
	int p=0;
	for(int i=31;i>=0;i--)
	{
		int t=(x>>i)&1;
		if(!trie[p][t])
			trie[p][t]=++tot;
		p=trie[p][t];
	}
}

int query(int x)
{
	int q=0,ans=0,t;
	for(int i=31;i>=0;i--)
	{
		t=(x>>i)&1;
		if(!trie[q][!t])
		{
			q=trie[q][t];
			ans<<=1;
		}
		else
		{
			q=trie[q][!t];
			ans<<=1;
			ans+=1;
		}
	} 
	return ans;
}

int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int x=read(),y=read(),w=read();
		add(x,y,w);
		add(y,x,w);
	}
	a[1]=0;
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		insert(a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int temp=query(a[i]);
		maxn=max(maxn,temp);
	}
	cout<<maxn;
    return 0;
}

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P6824 「EZEC-4」可乐

聪明值不会超过$2^{21}$，我们在此范围内枚举每一个数x，在字典树中进行查找，求出x^k的每个二进制位，枚举每一位时，反子树内的结点个数可以直接被统计上（最后必然符合条件），一直枚举到最后一位（注意结尾要特判一下，因为是<=k）。

#include
using namespace std;
const int N=1e6+10;

int n,k,a[N],now,ans,sz[N*21],trie[N*21][2],tot;

inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}

void insert(int x)
{
    int p=0;
    for(int k=21,c;k>=0;k--)
	{
        c=(x>>k)&1;
        if(!trie[p][c]) trie[p][c]=++tot;
        p=trie[p][c];
        sz[p]++;//记录有多少个数以到目前为止的这一串“01”为前缀 
    }
}

int query(int x)
{
    int ret=0,p=0;
    bool flag=0;
    for(int i=21,c;i>=0;i--)
	{
        c=(x>>i)&1;//x这一位的值
        int t=(k>>i)&1;//k这一位的值
        if(t==1) ret+=sz[trie[p][1-c^t]];//如果k这一位的值是1，那么这一位取1-(c^t)的时候一定可行，反之一定不可行
        if(!trie[p][c^t]) {flag=1;break;}//如果走不到就返回
        p=trie[p][c^t];
    }
    if(!flag) ret+=sz[p];//走到最底层侧了，这里对应的数就是k 
    return ret;
}
int main()
{
	n=read(),k=read();
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		a[i]=read();
		insert(a[i]);
	}
	int temp;
	for(int i=0;i<(1<<21);i++)
	{
        ans=max(ans,query(i));
        if(ans==n) break;
    }
	cout<<ans;
    return 0;
}

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一只题单：Trie