HDU2138 随机素数测试 Miller-Rabin算法

题目描述

  Give you a lot of positive integers, just to find out how many prime numbers there are..

  In each case, there is an integer N representing the number of integers to find. Each integer won’t exceed 32-bit signed integer, and each of them won’t be less than 2.

  32-bit signed intege，最普通的肯定要超时，筛选法要超内存，开小的话就越界。

miller_rabin算法 

一.费马小定里

if n is prime and gcd(a,n) equals one ,then a^(n-1) = 1 (mod n)

费马小定理只是个必要条件,符合费马小定理而非素数的数叫做Carmichael.

前3个Carmichael数是561,1105,1729。

Carmichael数是非常少的。

在1~100000000范围内的整数中，只有255个Carmichael数。

为此又有二次探测定理,以确保该数为素数:

二.二次探测定理

二次探测定理 如果p是一个素数，0<x<p,则方程x^2≡1(mod p)的解为x=1,p-1

根据以上两个定理,如到Miller-Rabin算法的一般步骤:

0、先计算出m、j，使得n-1=m*2^j，其中m是正奇数，j是非负整数

1、随机取一个b，2<=b

2、计算v=b^m mod n

3、如果v==1，通过测试，返回

4、令i=1

5、如果v=n-1，通过测试，返回

6、如果i==j，非素数，结束

7、v=v^2 mod n，i=i+1

8、循环到5

说明:

Miller-Rabin是随机算法

得到的结果的正确率为75%,所以应该多次调用该函数,使正确概率提高为1-(1/4)^s

代码

  
    

   
     
   
     #include
   
     <
   
     stdio.h
   
     >
   
     
#include
   
     <
   
     stdlib.h
   
     >
   
     
#include
   
     <
   
     cmath
   
     >
   
     

   
     bool
   
      witness(__int64 a,__int64 n)
{
 __int64 t,d,x;
 d
   
     =
   
     1
   
     ;
 
   
     int
   
      i
   
     =
   
     ceil(log(n
   
     -
   
     1.0
   
     )
   
     /
   
     log(
   
     2.0
   
     )) 
   
     -
   
      
   
     1
   
     ;
 
   
     for
   
     (;i
   
     >=
   
     0
   
     ;i
   
     --
   
     )
 {
 x
   
     =
   
     d; d
   
     =
   
     (d
   
     *
   
     d)
   
     %
   
     n;
 
   
     if
   
     (d
   
     ==
   
     1
   
      
   
     &&
   
      x
   
     !=
   
     1
   
      
   
     &&
   
      x
   
     !=
   
     n
   
     -
   
     1
   
     ) 
   
     return
   
      
   
     true
   
     ;
 
   
     if
   
     ( ((n
   
     -
   
     1
   
     ) 
   
     &
   
      (
   
     1
   
     <<
   
     i)) 
   
     >
   
      
   
     0
   
     )
 d
   
     =
   
     (d
   
     *
   
     a)
   
     %
   
     n;
 }
 
   
     return
   
      d
   
     ==
   
     1
   
     ?
   
      
   
     false
   
      : 
   
     true
   
     ;
}

   
     bool
   
      miller_rabin(__int64 n)
{
 
   
     if
   
     (n
   
     ==
   
     2
   
     ) 
   
     return
   
      
   
     true
   
     ;
 
   
     if
   
     (n
   
     ==
   
     1
   
      
   
     ||
   
      ((n
   
     &
   
     1
   
     )
   
     ==
   
     0
   
     )) 
   
     return
   
      
   
     false
   
     ;
 
   
     for
   
     (
   
     int
   
      i
   
     =
   
     0
   
     ;i
   
     <
   
     50
   
     ;i
   
     ++
   
     ){
 __int64 a
   
     =
   
     rand()
   
     *
   
     (n
   
     -
   
     2
   
     )
   
     /
   
     RAND_MAX 
   
     +
   
     1
   
     ;
 
   
     if
   
     (witness(a, n)) 
   
     return
   
      
   
     false
   
     ;
 }
 
   
     return
   
      
   
     true
   
     ;
}

   
     int
   
      main()
{
 
   
     int
   
      n,cnt;
 __int64 a;
 
   
     while
   
     (scanf(
   
     "
   
     %d
   
     "
   
     ,
   
     &
   
     n)
   
     !=
   
     EOF)
 {
 cnt
   
     =
   
     0
   
     ;
 
   
     while
   
     (n
   
     --
   
     )
 {
 scanf(
   
     "
   
     %I64d
   
     "
   
     ,
   
     &
   
     a);
 
   
     if
   
     (miller_rabin(a))
 cnt
   
     ++
   
     ;
 }
 printf(
   
     "
   
     %d\n
   
     "
   
     ,cnt);
 }
 
   
     return
   
      
   
     0
   
     ;
}
  
    

 

上面代码参考的是吉林大学2003年的模板，在杭电上109MS A掉。下面是网上31MS代码的miller_rabin函数，其它部分与上述代码一致。

我们发现，它只调用witness函数3次，每次都a为2,7,61，正确率显然没上面高，到时间倒挺快啊^_^

  
    

   
     
   
     bool
   
      miller_rabin(__int64 n)
{
 
   
     int
   
      s[]
   
     =
   
     {
   
     2
   
     ,
   
     7
   
     ,
   
     61
   
     };
 
   
     if
   
     (n
   
     ==
   
     2
   
     ) 
   
     return
   
      
   
     true
   
     ;
 
   
     if
   
     (n
   
     ==
   
     1
   
      
   
     ||
   
      ((n
   
     &
   
     1
   
     )
   
     ==
   
     0
   
     )) 
   
     return
   
      
   
     false
   
     ;
 
   
     for
   
     (
   
     int
   
      i
   
     =
   
     0
   
     ;i
   
     <
   
     3
   
     ;i
   
     ++
   
     )
 
   
     if
   
     (witness(s[i], n)) 
   
     return
   
      
   
     false
   
     ;
 
   
     return
   
      
   
     true
   
     ;
}