Control-车辆运动学模型

1 单车模型($BicycleModel$)

根据一些假设，可以建立用于车辆侧向运动的运动学模型。这一模型以数学方式描述车辆运动而不考虑影响运动的力。运动方程是基于控制系统的几何关系建立的。做如下假设：

• 不考虑车辆在$Z$轴方向的运动，只考虑水平运动；

• 左右侧车轮转角一致，将左右侧轮胎合并为一个轮胎；

• 车辆行驶速度变化缓慢，忽略前后轴在载荷的转移；

• 车身及悬架系统是刚性的。

单车模型将左/右前轮合并为一个$A$点，将左/右后轮合并为一个$B$点，$C$点为车辆质心点。$O$是车辆瞬时转动中心，线段$OA,OB$分别垂直于两个轮胎滚动的方向。$\beta$为滑移角($TireSlipAngle$)，是速度方向和车身方向的夹角，$\psi$是车辆的航向角，是车身与$X$轴的夹角。

由正弦定理：
$$\{\begin{array}{l}\frac{\sin ({\delta }_f-\beta )}{l_f}=\frac{sin(\frac{\pi }{2}-{\delta }_f)}{R}\\ \frac{\sin (\beta -{\delta }_r)}{l_r}=\frac{sin(\frac{\pi }{2}+{\delta }_r)}{R}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
整理得：
$$\{\begin{array}{l}\frac{sin{\delta }_{f}cos\beta -sin\beta cos{\delta }_f}{l_f}=\frac{cos{\delta }_f}{R}\\ \frac{cos{\delta }_{f}sin\beta -sin{\delta }_{r}cos\beta }{l_r}=\frac{cos{\delta }_r}{R}\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
可得：
$$\{\begin{array}{l}(tan{\delta }_f-tan{\delta }_r)cos\beta =\frac{l_f+l_r}{R}\\ \beta =ta{n}^{-1}(\frac{l_{f}tan{\delta }_r+l_{r}tan{\delta }_f}{l_f+l_r})\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
在低速环境下，车辆行驶路径的转弯半径变化缓慢，此时假设车辆的方向变化率等于车辆的角速度，则车辆的角速度为：
$$\dot{\psi }=\frac{V}{R}\text{\hspace{1em}(4)}$$
可得：
$$\dot{\psi }=\frac{Vcos\beta }{l_f+l_r}((tan{\delta }_f-tan{\delta }_r)\text{\hspace{1em}(5)}$$
因此在惯性坐标系$XY$下，可得车辆的运动学模型：
$$\{\begin{array}{l}\dot{X}=Vcos(\psi +\beta )\\ \dot{Y}=Vsin(\psi +\beta )\\ \dot{\psi }=\frac{Vcos\beta }{l_f+l_r}((tan{\delta }_f-tan{\delta }_r)\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

2 阿克曼转向几何($Ackermanturninggeometry$)

阿克曼转向几何是一种为了解决交通工具转弯时，内外转向轮路径指向的圆心不同的几何学。在单车模型中，将转向时左/右前轮偏角假设为同一角度，虽然通常两个角度大致相等，但实际并不是，通常情况下，内侧轮胎的转角更大。如下图所示，${\delta }_o$和${\delta }_i$分别为外侧前轮和内侧前轮偏角，当车辆右转时，右前轮为内侧轮胎，其转角${\delta }_i$较左前轮转角${\delta }_o$更大。$l_w$为轴距，$L$为轴距，后轮转角始终为$0$。

当滑移角$\beta$很小时，且后轮偏角为$0$时：
$$\frac{\dot{\psi }}{V}\approx \frac{1}{R}=\frac{\delta }{L}\text{\hspace{1em}(7)}$$
可得内外侧轮胎的转角为：
$$\{\begin{array}{l}{\delta }_o=\frac{L}{R+\frac{l_w}{2}}\\ {\delta }_i=\frac{L}{R-\frac{l_w}{2}}\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$
内外转角之差：
$$\Delta \delta ={\delta }_i-{\delta }_o=\frac{L}{R^2}{l}_w={\delta }^2\frac{l_w}{L}\text{\hspace{1em}(9)}$$
依据阿克曼转向几何设计的车辆，沿着弯道转弯时，利用四连杆的相等曲柄使内侧轮的转角比外侧轮大大约2°~4°，使四个轮子路径的圆心大致相交与后轴的延长线上瞬时转向中心，让车辆可以顺畅的转弯。

3 模型线性化

以后轴中心为参考点，假设后轮转角${\delta }_r=0$，滑移率$\beta$很小，假设为$0$。可得非线性运动学模型为：
$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=v\cos \psi \\ \dot{y}=v\sin \psi \\ \dot{\psi }=\frac{v}{l}tan{\delta }_f\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$
线性化的方法一般有三种：

• 基于参考系的线性化

$$\left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{\psi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -v\sin {\psi }_r\\ 0& 0& v\cos {\psi }_r\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ \psi \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{v}{lco{s}^2{\delta }_{f,r}}\end{array}\right]{\delta }_f+\left[\begin{array}{c}v\cos {\psi }_r+v{\psi }_r\sin {\psi }_r\\ v\sin {\psi }_r-v{\psi }_r\cos {\psi }_r\\ \frac{v}{l}tan{\delta }_{f,r}-\frac{v}{lco{s}^2{\delta }_{f,r}}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(11)}$$

• 基于当前工作点的线性化

$$\left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{\psi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -v\sin {\psi }_0\\ 0& 0& v\cos {\psi }_0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ \psi \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{v}{lco{s}^2{\delta }_{f,0}}\end{array}\right]{\delta }_f+\left[\begin{array}{c}v\cos {\psi }_0+v{\psi }_0\sin {\psi }_0\\ v\sin {\psi }_0-v{\psi }_0\cos {\psi }_0\\ \frac{v}{l}tan{\delta }_{f,0}-\frac{v}{lco{s}^2{\delta }_{f,0}}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(12)}$$

• 小角度近似线性化

$$\left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{\psi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& v\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ \psi \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{v}{l}\end{array}\right]{\delta }_f\text{\hspace{1em}(13)}$$

基于参考系和当前工作点的线性化使用泰勒展开，忽略高阶项所得。这两种方法虽然得到的线性模型精确度较高，但也会遇到问题。基于参考系线性化对参考路径的平滑度要求较高，基于当前工作点的线性需要使用车辆的状态反馈，而反馈值是存在噪声的，例如路面激励对转向角反馈值的影响。

4 Reference :

车辆运动学模型