车辆控制-运动学模型(Kinematic Model)

概述

车辆横向运动学模型描述了车辆横向运动的数学模型，该模型不考虑车辆的受力情况。一般考虑运动学模型时，将车辆模型简化成单车模型(bicycle model)。

单车模型

单车模型中：

• 左右轮等效为单个轮子
  左右前轮合并为单个轮子，其中心点为$A$点，同样后轮等效后的中心点为$B$点。

• 转向角
  前后轮的转向角用${\delta }_f$和${\delta }_r$表示，模型中前后轮都可以转向，对于只有前轮转向的系统，后轮转向角${\delta }_r$可以设置为0.

• 重心
  点$C$代表车辆的重心，$A$点和$B$点到重心的距离分别用$l_f$和$l_r$表示，轴距表示为$L=l_f+l_r$。

• 速度
  车辆重心的速度用$V$表示，与车辆纵向轴的夹角为$\beta$，该角度叫做车辆的滑移角。

• 运动描述
  假设车辆平动，车辆运动状态可以用三个坐标量描述：$X$ 、 $Y$ 和 $\psi$。其中$(X,Y)$代表车辆重心的位置，$\Psi$描述了车辆的方向。

• 条件假设
  假设速度矢量$V$的方向在点$A$点和$B$点的方向与转向角的方向相同，换句话说，在A点的速度矢量与车辆纵轴的夹角为${\delta }_f$，同样$B$点的速度矢量与车辆纵轴的夹角为${\delta }_r$。也就是说前后轮的滑移角都为0。该条件假设成立前提的是车辆速度很低(<5m/s)，此时轮胎产生的横向力很小，可以忽略。

• 轨迹半径
  点$O$代表车辆的瞬时旋转中心，线段$AO$与$BO$与前后两个转轮方向垂直，他们的交点即为$O$点，线段$OC$的长度代表车辆的轨迹半径$R$。

• 航迹角
  车辆重心处的速度垂直于$OC$,车辆速度矢量与车辆纵轴的夹角为$\beta$，车辆的航向角为$\psi$，则航迹角为$\gamma =\psi +\beta$。

运动方程

概述

运动方程可以根据单车模型几何关系推导出，下面根据单车模型的几何关系，推导出车辆运动的微分方程。

姿态信息(偏航角)

三角形$OCA$根据正弦定理得
$$\frac{\sin ({\delta }_f-\beta )}{l_f}=\frac{\sin (\frac{\pi }{2}-{\delta }_f)}{R}\text{\hspace{1em}(1)}$$
同理，三角形$OCB$根据正弦定理可得

$$\frac{\sin (\beta -{\delta }_r)}{l_r}=\frac{\sin (\frac{\pi }{2}+{\delta }_r)}{R}\text{\hspace{1em}(2)}$$
根据和差定理，等式(1)得
$$\frac{\sin ({\delta }_f)\cos (\beta )-\cos ({\delta }_f)\sin (\beta )}{l_f}=\frac{\cos ({\delta }_f)}{R}\text{\hspace{1em}(3)}$$
同理，根据等式(2)得
$$\frac{\cos ({\delta }_r)\sin (\beta )-\cos (\beta )\sin ({\delta }_r)}{l_r}=\frac{\cos ({\delta }_f)}{R}\text{\hspace{1em}(4)}$$
等式(3)两边同时乘$\frac{l_f}{\cos ({\delta }_f)}$得
$$\tan ({\delta }_f)\cos (\beta )-sin(\beta )=\frac{l_f}{R}\text{\hspace{1em}(5)}$$
同理，等式(4)两边同时乘$\frac{l_r}{\cos ({\delta }_r)}$得
$$sin(\beta )-\tan ({\delta }_r)\cos (\beta )=\frac{l_r}{R}\text{\hspace{1em}(6)}$$
等式(5)和(6)相加得
$$\{\tan ({\delta }_f)-\tan ({\delta }_r)\}\cos (\beta )=\frac{l_f+l_r}{R}\text{\hspace{1em}(7)}$$
根据条件假设，车辆速度很低，车辆的轨迹半径变化就很慢。车辆偏航角的变化率($\dot{\psi }$)可以近似等于车辆的角速度($\omega$)。根据车辆角速度$\omega =\frac{V}{R}$得
$$\dot{\psi }=\frac{V}{R}\text{\hspace{1em}(8)}$$
将等式(8)带入等式(7)中，消除$R$项得
$$\dot{\psi }=\frac{V\cos (\beta )}{l_f+l_r}\{\tan ({\delta }_f)-\tan ({\delta }_r)\}\text{\hspace{1em}(9)}$$
上述等式一共三个输入变量：${\delta }_f$ 、${\delta }_r$和$V$。其中${\delta }_f$和${\delta }_r$是车辆的转向角，可以通过车身传感器获得。$V$是一个外部变量，可以假设其为时变函数，可以从纵向控制中获得。

滑移角$\beta$的计算

等式(5)乘以$l_r$，
$$\tan ({\delta }_f)\cos (\beta )l_r-sin(\beta )l_r=\frac{l_f\ast l_r}{R}\text{\hspace{1em}(10)}$$
等式(6)乘以$l_f$得
$$sin(\beta )l_f-\tan ({\delta }_r)\cos (\beta )l_f=\frac{l_f\ast l_r}{R}\text{\hspace{1em}(11)}$$
等式(10)和(11)相减得
$$\cos (\beta )(l_f\tan ({\delta }_r)+l_r\tan ({\delta }_f))=\sin (\beta )(l_f+l_r)\text{\hspace{1em}(12)}$$
等式(12)两端同时乘以$\frac{1}{\cos (\beta )}$得
$$\tan (\beta )=\frac{l_f\tan ({\delta }_r)+l_r\tan ({\delta }_f)}{l_f+l_r}\text{\hspace{1em}(13)}$$
故取反三角函数得
$$\beta =\arctan (\frac{l_f\tan ({\delta }_r)+l_r\tan ({\delta }_f)}{l_f+l_r})\text{\hspace{1em}(13)}$$

位置信息

根据单车模型得
$$\dot{X}=V\cos (\beta +\psi )\text{\hspace{1em}(14)}$$
$$\dot{Y}=V\sin (\beta +\psi )\text{\hspace{1em}(15)}$$

补充

由上图可知，$l_w$为车轴宽度，为了避免与上述单车模型的转向角定义重复，使用${\delta }_o$表示外部转向角，${\delta }_i$表示内部转向角。由于轴距$L=l_f+l_r$远远小于轨迹半径$R$，滑移角$\beta$接近于0。一般车辆模型后轴为固定轴，故${\delta }_r$为0，所以等式(9)可以近似为
$$\dot{\psi }=\frac{V}{L}\tan ({\delta }_f)\text{\hspace{1em}(16)}$$
由于${\delta }_f$很小
$$\tan ({\delta }_f)\approx {\delta }_f\text{\hspace{1em}(17)}$$
根据等式(8)和等式(16)得
$$\frac{\dot{\psi }}{V}\approx \frac{{\delta }_f}{L}=\frac{1}{R}\text{\hspace{1em}(18)}$$
故不区分前后轴，等效转向角为
$$\delta =\frac{L}{R}\text{\hspace{1em}(19)}$$
由于内外轮的转弯半径不同，根据等式(19),外轮转角为
$${\delta }_o=\frac{L}{R+\frac{l_w}{2}}\text{\hspace{1em}(20)}$$
内轮转角为
$${\delta }_i=\frac{L}{R-\frac{l_w}{2}}\text{\hspace{1em}(21)}$$
故前轮平均转向角为
$$\delta =\frac{{\delta }_o+{\delta }_i}{2}=\frac{L}{R-\frac{l_w^2}{4R}}\text{\hspace{1em}(22)}$$
由于$\frac{l_w^2}{4R}$项中，$l_w$远远小于$R$,且$l_w$的二次项更小，故
$$\frac{l_w^2}{4R}\cong 0\text{\hspace{1em}(23)}$$
所以等式(22)可以近似为
$$\delta =\frac{L}{R}\text{\hspace{1em}(24)}$$
比较等式(20)和(21)知，${\delta }_i$始终大于${\delta }_o$，故
$$\begin{gathered} {\delta }_i-{\delta }_o=\frac{L}{R-\frac{l_w}{2}}-\frac{L}{R+\frac{l_w}{2}} \\ =\frac{L{l}_w}{R^2-\frac{l_w^2}{4}} \\ \cong \frac{L}{R^2}{l}_w={\delta }^2\frac{l_w}{L}\text{\hspace{1em}(25)} \end{gathered}$$
根据等式(25)可知，前轮内外转向角的差值接近于平均转向角的二次方，所以当前轮转向角较大时，内外轮的转向角误差就越大。

结论

车辆运动模型基于单车模型推导，推导过程不考虑车辆受到的横向力，故该模型只适用于车辆速度很低的情形。
$$a=\frac{m{V}^2}{R}\text{\hspace{1em}(26)}$$
根据等式(26)知，速度很小时，车辆受到的向心力可以忽略不记，所以才有公式(8)的成立。所以当车辆的运动场景速度较低时，可以使用该模型描述车辆的运动。

微分方程形式

根据等式(9)、(14)和(15)，对于前轮转向系统，${\delta }_r=0$，可得
$$\begin{gathered} \dot{X}=V\cos (\beta +\psi ) \\ \dot{Y}=V\sin (\beta +\psi ) \\ \dot{\psi }=\frac{V\cos (\beta )\tan ({\delta }_f)}{L} \end{gathered}$$
其中
$$\beta =\arctan (\frac{l_r\tan ({\delta }_f)}{l_f+l_r})$$
假设车辆重心点在后轴中心点，则$beta\cong 0$，由上述微分方程可得
$$\begin{gathered} \dot{X}=V\cos (\psi ) \\ \dot{Y}=V\sin (\psi ) \\ \dot{\psi }=\frac{V\tan ({\delta }_f)}{L} \end{gathered}$$

参考

• “vehicle dynamics and control”
• 车辆控制-运动学模型