一支王同学

数学建模——01规划 / 线性规划 (工具：matlab + lingo，算法：Folyd)

文章目录

一、前驱知识准备
- 1、Lingo简介
- 2、01规划、整数规划、(非)线性规划等规划的区别
- 3、优化(/规划)模型的组成
- - (1)目标函数
  - (2)决策变量
  - (3)约束条件
- 4、Lingo模型的基本组成
- - (1)集合定义部分
  - (2)数据段
  - (3)初始化段
  - (4)计算段
  - (5)目标函数和约束条件
二、样例：国赛数模11年B题《交巡警服务平台的设置与调度》的第一问(前2小问)
- 1、问题描述：
- 2、解题思路
- 3、数据预处理
- 4、第①小问模型的建立和求解
- 5、第②小问模型的建立和求解
三、总结：
四、参考附录：

敲到码穷处，坐看云起时。☁️ ☁️ ☁️

数学建模系列文章——总结篇：《数模美一国一退役选手的经验分享[2021纪念版]》.

一、前驱知识准备

1、Lingo简介

LINGO是 Linear Interactive and General Optimizer 的缩写，即“交互式的线性和通用优化求解器”。

Lingo超强的优化计算能力在很多方面（线性规划、非线性规划、线性整数规划、非线性整数规划、非线性混合规划、二次规划等）比matlab、maple等强得多。

Lingo编程简洁明了，数学模型不用做太大的改动，便可以直接用Lingo语言编程呈现，十分直观。

2、01规划、整数规划、(非)线性规划等规划的区别

☁️ ☁️ ☁️

①0-1规划 是决策变量仅取值0或1的一类 特殊的整数规划。

补充：0-1 变量可以数量化地描述诸如开与关、取与弃、有与无等现象所反映的逻辑关系。因此 0-1 规划非常适合解决如工厂选址、生产计划安排、背包问题、人员安排等多种问题。

②整数规划 是指规划中的变量（全部或部分）限制为整数。

补充：若在线性模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。所流行的求解整数规划的方法往往只适用于整数线性规划。从约束条件的构成又可细分为线性，二次和非线性的整数规划。

③线性规划（Linear programming,简称 LP ），是运筹学中的一个重要分支，它是一种数学方法。研究 线性约束条件 下 线性目标函数 的极值问题的数学理论和方法。

④非线性规划 是一种求解目标函数或约束条件中有一个或几个 非线性函数 的最优化问题的方法。

3、优化(/规划)模型的组成

(1)目标函数

(1)目标函数：一般表示成求某个数学表达式的 最小值 或 最大值 。

(2)决策变量

(2)决策变量：目标函数值取决于哪些变量。

(3)约束条件

(3)约束条件：对变量附加一些条件限制(通常用等式或不等式来表示)。

4、Lingo模型的基本组成

(1)集合定义部分

(2)数据段

(3)初始化段

(4)计算段

(5)目标函数和约束条件

注：详细说明可参考本文最后的 参考附录【2】 。

二、样例：国赛数模11年B题《交巡警服务平台的设置与调度》的第一问(前2小问)

1、问题描述：

该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况如下图所示。(相关数据可在本文最后 参考附录【1】下载)

①现在请为各交巡警服务平台分配管辖区域，使其在所管辖的范围出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车时速为60km/h）到达事发地。

②对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该去的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个结点，请给出该区交巡警服务平台合理的调度方案。【注：13条交通要道即图中13个红点。】

2、解题思路

①根据实际情况，我们首先要对数据进行处理，利用Folyd算法，借助 matlab 软件对其进行求解，求出20个交巡警服务平台到各个结点之间的实际距离。
然后建立优化模型，找出目标函数，并找出相应的约束条件，借助 lingo 对其进行求解，得出结论。

②由上面那张图，我们明显地可以看出，有些结点到所有的交巡警平台的距离都不会小于3km，所以显然不能满足 “3分钟” 那个条件(因为车速60km/h→1km/min)。故我们考虑到交巡警平台的重新铺设，将20个交巡警平台重新在交通网络中铺设，得到最优结果。

③我们设定一个正向型指标，使增设平台的目标就是：让该指标分数最大。

3、数据预处理

Folyd算法如下：

Step1：构造 0-1 矩阵 A₀：

来存放各节点之间的关系，其中，a_ij = 0 表示 i,j 两节点之间没有直接连接。 a _ij = 1 表示 i,j 两节点之间直接连接。

Step2：递推产生一个矩阵序列 A₀、A₁、A₂、… 、A_k、A_k+1、… 、A_n-1、A_n。其中 A_k ( i , j ) 表示从节点 i 到结点 j 的路径所经过的节点序号不大于 k 的最短路径长度。
计算时用的迭代公式为：

$A_k(i,j)=min(A_{k-1}(i,j),A_{k-1}(i,k)+A_{k-1}(k,j))$

其中，k 为迭代次数， i, j, k = 1, 2, 3, … , n
最后，当 k=n 时，A_n 即是各节点之间的最短距离。

注： Table是个 n*m 的结构体表，封装了题目里面的所有数据。
其构造的内容详见这一篇文章《数学建模——matlab绘制地图散点图连线图 (运用plot、scatter、struct、xlsread等函数)》
链接: https://blog.csdn.net/Wang_Dou_Dou_/article/details/119007126?spm=1001.2014.3001.5501.
Folyd 的原理可以参考这篇《算法篇——详解弗洛伊德(Folyd)算法【用 C/C++ 和 matlab 实现】》
链接:https://blog.csdn.net/Wang_Dou_Dou_/article/details/119485893?spm=1001.2014.3001.5501.

通过 matlab 编程求解如下：


A_0 = zeros(92,92);   % 初始化 注：A区域有92个节点
for i=1:92
    next_point = Table(i).NextJieDian;   % 注：Table(i).NextJieDian 是一个 1*n 的矩阵
    for j=1:length(next_point)
        if 1 <= next_point(j) && next_point(j) <= 92
            A_0(i,next_point(j)) = 1;
        end
    end
end

zuo_x_A = zeros(92,1);
zuo_y_A = zeros(92,1);
for i=1:92    % 筛选出 A 区域里面的数据点
    zuo_x_A(i) = Table(i).X;
    zuo_y_A(i) = Table(i).Y;
end

X_0 = zeros(92,92);
for i=1:92    % 计算A区域中 两两结点之间的距离
    for j=1:92
        X_0(i,j) = sqrt( ( zuo_x_A(i) - zuo_x_A(j) ).^2 + ( zuo_y_A(i) - zuo_y_A(j) ).^2 );   
    end
end
Fal_X = X_0 .* A_0;   % 只保留 两个结点有连线的 "距离值"

for i=1:92
    for j=1:92
        if A_0(i,j) == 0    % 距离等于0，表示网络中两节点之间不相连，则表示距离无穷大
            Fal_X(i,j) = 99999;   
        end
    end
end

for i=1:92
    Fal_X(i,i) = 0;   % 自身到自身的节点距离为0
end

% Folyd算法：
path = zeros(92);
for k=1:92
    for i=1:92
        for j=1:92
            if Fal_X(i,j) > Fal_X(i,k) + Fal_X(k,j)
                Fal_X(i,j) = Fal_X(i,k) + Fal_X(k,j);   % 修改最短距离
                path(i,j) = path(k,j);                          % 记录最短途径
            end
        end
    end
end

运行结果如下：

Fal_X 表示节点 i 到节点 j 之间的最短距离。path 记录着节点 i 到节点 j 的最短途径上，结点 j 的上一结点 k。

4、第①小问模型的建立和求解

根据上述分析和数据处理，明显有些节点到所有交巡警服务平台的距离都不会小于 3km 。所以不能满足那个 “3分钟”(因为车速60km/h→1km/min) 的要求。

所以，我们建立以下模型。并且在满足 “3分钟之内尽量到达” 的条件上，再使得对于少数不能感赶到的，我们尽量使其趋于最短时间。

说明：

<1> $x_{ij}$ 是 0/1 变量，当 $x_{ij}=1$ 表示第 j 个节点分配在第 i 个交巡警服务平台的管辖内；当 $x_{ij}=0$ 表示第 j 个节点没有分配在第 i 个交巡警服务平台的管辖内。

<2> $L_{ij}$ 是结点 i 到结点 j 的最短距离。

<3>目标函数为 $\sum \limits_{i=1}^{20} x_{ij}L_{ij} ,(j=1,2,...,92)$ 表示第 j 个节点距离第 i 个交巡警服务平台距离最近时，就将第 j 个节点分配在第 i 个交巡警服务平台的管辖区域内。并尽量使交巡警平台能满足 “3分钟” 的那个条件。

<4> $\sum \limits_{i=1}^{20} x_{ij}=1 ,(j=1,2,...,92)$ 表示每个节点(总共92个) 只能归属于一个交巡警服务平台的管辖。

<5> $\sum \limits_{j=1}^{92} x_{ij} ≥1,(i=1,2,...,20)$ 表示每个交巡警服务平台至少管辖一个节点。【也就是大家也都得干干活】

用 lingo 软件对其进行求解：


model:
sets:  ! 集合段;
R/1..92/;
S/1..20/;  
T/1..92/;
JuZhen(S,T): x,L; 
BigJuZhen(R,T):Fal_X;
endsets

data:  ! 数据段;
Fal_X = @ole('C:\Users\ASUS\Desktop\CSDN\6交巡警\cumcm2011B附件2_全市六区交通网路和平台设置的数据表.xls','data_1');    ! 向Excel读数据
@ole('C:\Users\ASUS\Desktop\CSDN\6交巡警\cumcm2011B附件2_全市六区交通网路和平台设置的数据表.xls','结果') = X;         ! 向Excel写数据
enddata

calc:  ! 计算段;
@for( R(i)| (i #LE# 20): @for( T(j): L(i,j) = Fal_X(i,j) ) );
endcalc

min = @sum( JuZhen: x*L );      ! 目标函数;

! 以下3个函数是约束条件;
@for( T(j): @sum( S(i):x(i,j) ) = 1 );    

@for( S(i): @sum( T(j):x(i,j) ) >= 1 );  

@for( JuZhen: @bin(x)  );      ! 01变量
end

运行结果如下：(已转到 Excel )

后续的可视化处理，即用 matlab 软件对其进行画图：


x = xlsread('cumcm2011B附件2_全市六区交通网路和平台设置的数据表.xls',7,'A1:CN20')
table_2 = struct([]);   % 结构体初始化
for i=1:20
    table_2(i).PingTai = [];
end

for i=1:20
    for j=1:92
        if x(i,j) == 1
            table_2(i).PingTai = [ table_2(i).PingTai,j ];  % 将 x 的数据读到结构体
        end
    end  
end
Save = zeros(20,2);  % 初始化
for i=1:20
    Z = cell2mat( struct2cell( table_2(i) ) );  % 转换操作：结构体 → 元胞数组 → 矩阵
    biggest_dis = 0 ;
    x0 = Table(i).X;
    y0 = Table(i).Y;
    for j=1:length(Z)
        x1 = Table(Z(j)).X;
        y1 = Table(Z(j)).Y;
        dis = sqrt( ( x0 - x1 ).^2 + ( y0 - y1 ).^2 );
        if dis > biggest_dis
            Save(i,1) = dis;   % 记录最长时间(也就是最短距离，因为车速是1km/h)
            Save(i,2) = j;     % 记录交通路口编号
        end
    end
end
xlswrite('cumcm2011B附件2_全市六区交通网路和平台设置的数据表.xls',Save,9,'M2:N22');
hold on;
new_line = cell2mat( struct2cell( table_2(1) ) );  % 结构体 → 元胞数组 → 矩阵
for j=1:length(new_line)   % 给第一个交巡警服务平台画管辖区域
    xx = [ Table(1).X,Table(new_line(j)).X ] ;
    yy = [ Table(1).Y,Table(new_line(j)).Y ] ;
    scatter(xx(:,2),yy(:,2),10,'filled','m');
    plot(xx,yy,'m-.','LineWidth',1)
end

new_line = cell2mat( struct2cell( table_2(2) ) );
for j=1:length(new_line)   % 给第二个交巡警服务平台画管辖区域
    xx = [ Table(2).X,Table(new_line(j)).X ] ;
    yy = [ Table(2).Y,Table(new_line(j)).Y ] ;
    scatter(xx(:,2),yy(:,2),10,'filled','r');
    plot(xx,yy,'r-.','LineWidth',1)
end

运行结果如下：(注：只画出两个交巡警服务平台的管辖区域,即粉色和红色)

5、第②小问模型的建立和求解

☁️ ☁️ ☁️

首先，我们用 matlab ，统计出13个节点(A区的13个出入口)和20个交巡警服务平台的距离表。


Model_2 = zeros(20,13);
t = 1;
ans = [];
for i=1:92
    if Table(i).A_Qu_ChuRuKou == 1
        for j = 1:20
            Model_2(j,t) = Fal_X(j,i);  % 获取对应的最短距离
        end
        t = t + 1;
        ans = [ans , i];    % 获取编号
    end
end
Model_2
ans
xlswrite('cumcm2011B附件2_全市六区交通网路和平台设置的数据表.xls',Model_2,9);

运行结果如下：(已用 Excel 作处理)

注：①表中的单位是mm。(比例尺1:100000)

②最上面一排项目中，括号外是打表的序号，括号内是A区13个出入口的编号。

接着，考虑到题目中所说的 “快速全面封锁” 这点，而时间的长短是由 所有距离中的最长距离 决定的，故不能建立 所有路程之和最短的模型，而要建立一个 时间最短模型。因为制约时间的并非是所有路程之和而是其中的最长路径。

所以建立的模型如下：

说明：
<1> L₀ 为 13个A区出入口分别到20个服务平台的 13 个最短距离中的最大值。

<2> $\sum \limits_{j=1}^{13} x_{ij}≤1 ,(i=1,2,...,20)$ 表每个交巡警平台只能封锁一个节点。

<3> $\sum \limits_{i=1}^{20} x_{ij}=1 ,(j=1,2,...,13)$ 表示每个A区出入口(总共13个) 都必须有交巡警进行封锁。

然后，我们用 lingo 编程求解。


model:

sets:  
S/1..20/;
T/1..13/;
link(S,T): x,L;
endsets

data:
L = @ole('C:\Users\ASUS\Desktop\CSDN\6交巡警\cumcm2011B附件2_全市六区交通网路和平台设置的数据表.xls','dis');  !读数据;
@ole('C:\Users\ASUS\Desktop\CSDN\6交巡警\cumcm2011B附件2_全市六区交通网路和平台设置的数据表.xls','TRY') = x;  !写数据;
L0 = 57.01;    !从Excel直接获取的数据;
enddata 

min = L1;

L1 >= L0;

@for( S(i): @SUM( T(j): x(i,j) ) <= 1 );

@for( T(j): @SUM( S(i): x(i,j) ) = 1 );

@for( link: x*L <= L1 );

@for( link: @bin(x) );

end

运行结果如下：(已用 Excel 作处理)

注：lingo解得的 L₁ = 80.15，故最长的路程为第29个节点，但只有 8015m ，并且满足将各个节点全部封锁的条件。所以从 时间的角度 来看，该模型是值得肯定的。【其实这里有一个对比方案，但我没写，那个对比方案是以13个A区出入口到20个服务平台的距离和最小为规划目标。但这个对比方案的模型计算结果没 80.15 好。】

三、总结：

在做优化(/规划)模型的题目时，一般用 lingo 要方便一点。但在此之前，我们一般要进行一下 数据预处理。

之后，我们要找到并建立以下三个东西：

(1)目标函数
(2)决策变量
(3)约束条件

最后，我没有详细地阐述其原理，只阐述了有什么用、怎么用。详细原理可以参考本文最后的参考附录。

四、参考附录：

[1] 《2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题 B题数据》
链接: http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/a1ffc4c5587c8a6f96eacefb8dbcc34e.html.

[2] 《数学建模之Lingo基础知识与应用》
链接: https://blog.csdn.net/sunyueqinghit/article/details/81708836.

[3] 《LINGO学习笔记01》
链接: https://blog.csdn.net/Temmie1024/article/details/108863568.

[4] 《算法篇——详解弗洛伊德(Folyd)算法【用 C/C++ 和 matlab 实现】》
链接: https://blog.csdn.net/Wang_Dou_Dou_/article/details/119485893?spm=1001.2014.3001.5501.