高等数学笔记-乐经良老师-第十章-曲线积分和曲面积分

高等数学笔记-乐经良老师

第十章 曲线积分和曲面积分

第一节 第一类曲线积分和曲面积分

一、数量值函数的曲线积分

01 概念

问题：怎样求一段曲线弧状的质线的质量？

设 $xy$ 平面的曲线弧为 $C$，端点 $A,B$，其上 $(x,y)$ 处的线密度为 $\mu (x,y)$

用分点 $A_1,A_2,\cdots ,A_{n-1}$，将 $C$ 分成 $n$ 小段，记 $A_0=A,A_n=B$，

第 $i$ 个小弧段 $A_{i-1}{A}_i$ 的长度为 $\Delta s_i$ 第 $i$ 个小弧段上任取一点 $\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)$，

小弧段的质量近似 $\mu \left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta s_i$，质线的质量近似为 $\sum _{i=1}^n\mu \left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta s_i$

记 $\lambda =\underset{1\le i\le n}{\max }\Delta s_i$，若极限 $\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\mu \left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta s_i$ 存在，那么此极限给出了弧状质线的质量。

试一试

去掉物理背景，取代密度 $\mu (x,y)$ 为定义在曲线 $C$ 上的有界函数 $f(x,y)$，

给出数量值函数曲线积分的定义：$\underset{C}{\int }f(x,y)ds=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta s_i$ .

数量值曲线积分又称第一类曲线积分。

几何问题：求一块柱面的面

设 $C$ 是 $xy$ 平面上曲线，$S$ 是以 $C$ 为准线，母线垂直 $xy$ 平面的柱面，

柱面高度为 $f(x,y)$ ，求 $xy$ 平面以上这部分柱面 $S$ 的面积

结论：$A=\underset{C}{\int }f(x,y)ds$ （曲线积分的几何意义）

02 性质

(1) 与曲线方向无关：若曲线 $C$，则
$$\underset{AB}{\int }f(x,y)ds=\underset{BA}{\int }f(x,y)ds$$
(2) 线性：
$$\underset{C}{\int }[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]ds=\alpha {\int }_{C}f(x,y)ds+\beta {\int }_{C}g(x,y)ds$$
(3) 可加性：设曲线段 $C_1$ 与 $C_2$ 首尾相接成曲线 $C$
$$\underset{C}{\int }f(x,y)ds={\int }_{C_1}f(x,y)ds+{\int }_{C_2}f(x,y)ds$$
(4) 中值定理：设函数 $f$ 在光滑曲线段 $C$ 上连续，则存在 $(\xi ,\eta )\in C$，使得
$$\underset{C}{\int }f(x,y)ds=f(\xi ,\eta )\cdot s_c(S_c为曲线段C的长度)$$

二、数量值函数曲线积分的计算

设函数 $f(x,y)$ 在曲线 $C$ 上连续，$C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}t\in [\alpha ,\beta ]$ ，

其中 $x(t),y(t)$ 均有连续导数。那么可得：
$$\underset{C}{\int }f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t))\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt(\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt为弧微分ds)$$
由于这积分中的 $ds$ 是弧长，取正值，故右端积分限应 $\alpha \le \beta$

当曲线形式为 $y=y(x),x\in [a,b]$
$$\underset{C}{\int }f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}dx$$
回顾在极坐标 $r=r(\theta )$，$ds=\sqrt{r^2+r^{\prime 2}}d\theta$ .

思考或猜测

对于空间曲线 $L$：
$$x=x(t),y=y(t),z=z(t),t\in [\alpha ,\beta ]$$
第一型曲线积分 $\underset{L}{\int }f(x,y,z)ds$ 的概念与计算式任何？

三、数量值函数的曲面积分

问题：怎样求一块曲面的质量？

设函数 $f(x,y,z)$ 定义在分片光滑的曲面 $S$ 上，试将 $f(x,y,z)$ 视为面密度，

采用分割、求和、取极限的来求这曲面质量，从而导出第一型曲面积分的定义，

其记号为 $\underset{S}{\iint }f(x,y,z)dS$ .

第一型曲面积分有类于第一型曲线积分的性质，如线性和可加性。

四、第一类曲面积分计算法

回顾在重积分一章，我们已经得知：曲线 $S$ 为 $z=z(x,y),(x,y)\in D$ .

则有，$dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$ .

从而，$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{D}{\iint }f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$ .

公式的导出：
$$|\cos \phi |=\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}$$
$\phi$ 是 $dS$ 上的法向量与 $z$ 方向的夹角。

那么当曲面 $S$ 为 $\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)(u,v)\in D\\ z=z(u,v)\end{array}$ .

注意 $dS$ 的法向量：$\left(x_u,y_u,z_u\right)\times \left(x_v,y_v,z_v\right)$ .
$$=\left(\left|\begin{array}{cc}{y}_u& z_u\\ y_v& z_v\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll}{z}_u& x_u\\ z_v& x_v\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll}{x}_u& y_u\\ x_v& y_v\end{array}\right|\right)\stackrel{\text{ 记为 }}{=}(A,B,C)\Rightarrow dS=\frac{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}{|C|}dxdy$$
回顾 $dxdy$ 与 $dudv$ 关系，$dxdy=|C|dudv$，故得：$dS=\sqrt{A^2+B^2+C^2}dudv$ .

其中，$A=\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)},B=\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)},C=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$ .

因此曲面积分计算公式为：
$$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{D}{\iint }f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\sqrt{A^2+B^2+C^2}dudv$$

第二节 第二类曲线积分和曲面积分

一、向量值函数曲线积分的概念

01 例子与概念

问题：设在光滑平面曲线 $C$ 上有连续的作用力 $F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$，

求 $F$ 作用于 $C$ 上质点从起点 $A$ 移动到终点 $B$ 所做的功为多少？

考察质点在 $C$ 上任一 $M$ 处移动一段弧微元所做的功：
$$\begin{array}{rl}& dW=F\cdot e_{\tau }ds\Rightarrow W=\underset{C}{\int }F\cdot e_{\tau }ds\\ & 由于单位切向量e_{\tau }=(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds})\Rightarrow e_{\tau }ds=(dx,dy)\\ & 于是W=\underset{C}{\int }F\cdot e_{\tau }ds=\underset{C}{\int }Pdx+Qdy(给出两类曲线积分关系)\end{array}$$
向量函数 $F=(P(x,y),Q(x,y))$ 在曲线 $C$ 切方向 $(A到B)$ 上投影的曲线积分写成：${\int }_{C}Pdx+Qdy$ .

称为向量值函数曲线积分或第二类曲线积分。

记 $r=(x,y)$，可将其写成 $\underset{C}{\int }F\cdot dr(向量形式)$ .

02 性质

与第一类曲线积分不同，第二类曲线积分与曲线方向有关
$$\underset{AB}{\int }Pdx+Qdy=-\underset{BA}{\int }Pdx+Qdy$$
还有与其他积分类似的性质，例如线性与可加性。

注意两点：

​ (1) 两种曲线积分形式的不同

​ (2) $Q=0或P=0$，${\int }_{C}Pdx或\underset{C}{\int }Qdy仍是第二类$ .

二、向量值函数曲线积分的计算

若曲线 $C$：$AB$ 为 $\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}t\in [\alpha ,\beta ]$ ，起点 $A$ 对应 $\alpha$，终点 $B$ 对应 $\beta$ .

考察 $\underset{C}{\int }Pdx+Qdy=\underset{C}{\int }F\cdot e_{\tau }ds$，由于
$$F=(P(x,y),Q(x,y))=(P(x(t),y(t)),Q(x(t),y(t)))e_{\tau }ds=(dx,dy)=\left(x^{\prime }(t)dt,y^{\prime }(t)dt\right)$$
故得计算式：
$$\underset{C}{\int }Pdx+Qdy={\int }_{\alpha }^{\beta }\left[P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)\right]dt$$
思考或猜测：

空间曲线 $L=AB:x=x(t),y=y(t),z=z(t)，t\in [\alpha ,\beta ]$ ( 起点 $A$ 对应 $\alpha$, 终点 $B$ 对应 $\beta$ )，

则第二类曲线积分 $\underset{L}{\int }Pdx+Qdy+Rdz$ 如何引进和计算。

三、向量值函数曲面积分

01 双侧曲面

设 $S$ 是一光滑曲面，$n$ 是起点 $P$ 在 $S$ 上的任一法向量，

若 $P$ 在 $S$ 上沿任何曲线连续变动而不越过曲面边界回到起始位置时，

法向量 $n$ 总是保持原来的指向，则称 $S$ 是双侧曲面 ( 莫比乌斯面不是双侧曲面 ) 。

常选定双侧曲面 $S$ 一侧方向为正向，称为正侧，记为 $S^{+}$ ；而封闭曲面通常取外侧为正侧。

02 概念与性质

(1) 例子与概念

设均匀流体具有连续的速度 $v=(P,Q,R)$，这里 $P,Q,R$ 是 $x,y,z$ 的函数，流体自曲面 $S$ 的负侧流向正侧，求单位时间通过 $S$ 的流量
在曲面微元 $dS$ 上，有
$$d\Phi =\mathbf{v}\cdot {\mathbf{n}}^{0}dS({\mathbf{n}}^0\text{ 是单位外法向量) }\Rightarrow \Phi ={\iint }_S\mathbf{v}\cdot {\mathbf{n}}^{0}dS$$
若去掉问题的物理背景，对向量函数 $F=(P,Q,R)$

可以引进积分
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot {\mathbf{n}}^{0}dS({\mathbf{n}}^{0}dS记为dS，定侧曲面微元)$$
记单位正侧法向量 ${\mathbf{n}}^0=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$, 那么
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot {\mathbf{n}}^{0}dS={\iint }_S(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS$$
而 $\cos \gamma dS$ 是 $dS$ 在 $xy$ 平面上的投影，是 $xy$ 平面上面积 微元，可记为 $dxdy$ ，

同样 $\cos \alpha dS,\cos \beta dS$ 分别记为 $dydz$ 和 $dzdx$, 于是又可将上述积分记为
$$\underset{S}{\iint }\mathbf{F}\cdot {\mathbf{n}}^{0}dS=\underset{S^{+}}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$$
上式的右端形式称为向量值函数曲面积分或第二类曲面积分，从而

$$\underset{S^{+}}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{S}{\iint }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS$$
( 两型曲面积分的关系 )

(2) 性质

第二类曲面积分与在曲面哪一侧积分有关
$$\underset{S^{-}}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=-\underset{S^{+}}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$$
(试提出其他性质)

03 计算法

若曲面方程为
$$\{\begin{array}{l}x=x(u,v),\\ y=y(u,v),(u,v)\in D\\ z=z(u,v),\end{array}$$
则其法向量为 $\pm (A,B,C)$ ，故单位法向量为
$$(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )=\pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}(A,B,C)$$
而 $dS=\sqrt{A^2+B^2+C^2}dudv$ ， 导出计算式
$$\underset{S^{+}}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\pm \underset{D}{\iint }(PA+QB+RC)dudv$$
( 其中正负号选择依据积分一侧的法向量而定 )

特别当 $z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy}$
$$\underset{S^{+}}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\pm \underset{D_{xy}}{\iint }\left(-P{z}_x-Q{z}_y+R\right)dxdy$$

则其法向量为 $\pm (A,B,C)$ ，故单位法向量为
$$(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )=\pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}(A,B,C)$$
而 $dS=\sqrt{A^2+B^2+C^2}dudv$ ， 导出计算式
$${\iint }_{S^{+}}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\pm {\iint }_D(PA+QB+RC)dudv$$
( 其中正负号选择依据积分一侧的法向量而定 )

特别当 $z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy}$
$$\underset{S^{+}}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\pm \underset{D_{xy}}{\iint }\left(-P{z}_x-Q{z}_y+R\right)dxdy$$
例如：
$$\underset{S^{+}}{\iint }R(x,y,z)dxdy=\pm \underset{D_{xy}}{\iint }R(x,y,z(x,y))dxdy$$

第三节 格林公式

一、格林公式

01 连通区域及其边界方向

(1) 连通

若 $D$ 为平面区域，则 $D$ 是连通的

(2) 单连通与复连通

若连通域 $D$ 内任意一条闭曲线所围成的区域都落在 $D$ 内，则称 $D$ 为单连通的，否则称 $D$ 为复连通的

(3) 闭曲线的方向

当点沿区域边界朝一个方向前进时，区域总在它左侧，将此方向规定为闭曲线的正向，记为 $C^{+}$ ；

与 $C^{+}$ 相反的有向曲线记为 $C^{-}$ 。

当平面闭曲线是单连通区域的边界时，依显然逆时针方向为其正向。

闭曲线上的第二类曲线积分未规定方向时，则沿正向积分。

02 格林公式

(1) 格林公式

设函数 $P(x,y),Q(x,y)$ 在有界区域 $D$ 上有连续的偏导数，$D$ 的边界 $C$ 是分段光滑曲线，

则有公式：( 二重积分与在其边界上的第二型曲线积分的关系 )
$$常常写成\oint 符号⟶\underset{C^{+}}{\int }Pdx+Qdy=\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$

(2) 证明的思路

① 先考虑区域 $D$ 是 $x$ 型正规区域的情况

$D=\left\{(x,y)\mid y_1(x)\le y\le y_2(x),a\le x\le b\right\}$

证 $\underset{C}{\oint }Pdx=-\underset{D}{\iint }\frac{\partial P}{\partial y}dxdy$

② 再考虑 $D$ 为一般区域将 $D$ 分割成几个正规区域

(3) 格林公式的向量形式

$$\begin{array}{rl}& F=(u(x,y),v(x,y))n^0为C^{+}的单位外法向量\\ & 利用切向量\Rightarrow {\mathbf{n}}^0=\left(\frac{dy}{ds},-\frac{dx}{ds}\right)\\ & {\oint }_{C^{+}}F\cdot n^{0}ds={\iint }_D\nabla \cdot Fd\sigma (格林公式的向量形式)\end{array}$$

二、平面曲线积分与路径无关的条件

设函数 $P(x,y),Q(x,y)$ 上在单连通区域 $D$ 有连续的偏导数，则下面的四个条件互相等价：
$$\begin{array}{rl}& (1)在D内的任一条逐段光滑的闭曲线C上，即\underset{C}{\oint }Pdx+Qdy=0\\ & (2)在D内任一曲线积分\underset{C}{\int }Pdx+Qdy与路径无关\\ & (3)Pdx+Qdy是某个函数u的全微分,即du=Pdx+Qdy\\ & (此时称u(x,y)是Pdx+Qdy的原函数)\\ & (4)在D内恒有\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\end{array}$$

三、全微分求积（全微分方程）

设函数 $P(x,y),Q(x,y)$ 上在单连通区域 $D$ 有连续导数，且
$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$$
则 $Pdx+Qdy$ 是某个函数 $u$ 的全微分：
$$u(x,y)={\int }_{\left(x_0,y_0\right)}^{(x,y)}Pdx+Qdy\leftarrow (u的求法)$$
若 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ 是某二元函数的的全微分，称方程 $Pdx+Qdy=0$ 为全微分方程。

求出原函数 $u$，则解为 $u=C$ 。
若 $P(x,y)\mathrm{d}\mathrm{x}+Q(x,y)\mathrm{d}\mathrm{y}$ 不是某二元函数的的全微分，方程 $Pdx+Qdy=0$ 的解法：

求出积分因子 $\mu$，使得方程化为 $\mu P(x,y)dx+\mu Q(x,y)dy=0$ 成为全微分方程。
$$\begin{array}{rl}& 常用积分因子:\frac{1}{x^2},\frac{1}{y^2},\frac{1}{xy},\frac{1}{x^2{y}^2},\frac{1}{x^2+y^2}\\ & 组合拼凑法:\\ & 例如，求解方程①\left(x-\sqrt{x^2+y^2}\right)dx=-ydy(分组结合凑成全微分，在过程中观察需要乘何因子)\\ & (xdx+ydy)-\sqrt{x^2+y^2}dx=0\Rightarrow d\left(x^2+y^2\right)-\sqrt{x^2+y^2}dx=0\\ & 乘什么使得后一项成全微分,前一项还是全微分?若将x^2+y^2看作u,应乘以\phi (u)\\ & 事实上只要各组都凑成全微分，方程就解出来了\\ & 求解方程②y(1+xy)dx+x(1-xy)dy=0\end{array}$$

第四节 高斯公式

一、高斯公式

01 高斯公式

设函数 $P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$ 在空间有界必区域 $\Omega$ 上有连续偏导数，$\Omega$ 的边界是分片光滑的闭曲面，

则有公式：（三重积分与在其边界上的第二型曲面积分的关系）
$$\underset{S^{+}}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\Omega }{\iiint }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV$$

02 证明的思路

类似格林公式的证明，先证明：
$$\underset{S^{\ast }}{\iint }Rdxdy=\underset{\Omega }{\iiint }\frac{\partial R}{\partial z}dV$$
(1) 考虑 $\Omega$ 是 $xy$ 型区域。
$$\Omega =\left\{(x,y,z)\mid z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y),(x,y)\in D\right\}$$
(2) 再考虑 $\Omega$ 是一般区域，将 $\Omega$ 分割成几个正规区域应用①的结论，同理证明关于 $P,Q$ 的等式。

03 高斯公式的向量形式

由于：
$$\begin{array}{rl}& \underset{S^{+}}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{S}{\iint }\mathbf{F}\cdot {\mathbf{n}}^{0}dS\\ & \underset{\Omega }{\iiint }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV=\underset{\Omega }{\iiint }\nabla \cdot \mathbf{F}dV\end{array}$$
得到高斯公式的向量形式：
$$\begin{array}{rl}& \underset{S}{\iint }\mathbf{F}\cdot {\mathbf{n}}^{0}dS=\underset{\Omega }{\iint }\nabla \cdot \mathbf{F}dV(高斯公式的向量形式)\\ & {\mathbf{n}}^{0}dS\to dS\\ & 与格林公式形式完全一致\end{array}$$

二、通量与散度

若给定向量场 $F=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ 那么称曲面积分
$$\Phi ={\iint }_S\mathbf{F}\cdot {\mathbf{n}}^{0}dS$$
为向量函数 $F$ 的通过定侧曲面 $S$ 的通量，而称
$$\mathrm{div}\mathbf{F}\stackrel{\text{ def }}{=}\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$
称为向量函数 $F$ 的散度。

三、斯托克斯公式

01 斯托克斯公式

设双侧曲面 $S$ 的边界为空间闭曲线 $C^4,C^4$ 的 正方向与 $S$ 的正侧成右手系。

设 $S$ 是分片光滑的双侧曲面，闭曲线 $C^4$ 是其边界，

向量值函数 $\mathbf{F}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ 在包含 $S$ 的空间区域内有连续偏导数，则
$$\begin{array}{rl}{\oint }_{C^{+}}Pdx& +Qdy+Rdz\\ & ={\iint }_{S^{+}}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\end{array}$$
借助行列式，公式可记为
$${\oint }_{C^{+}}Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{S^{+}}\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$$

02 斯托克斯公式的向量形式

若记 $\mathbf{r}=(x,y,z)$, 那么 $d\mathbf{r}=(dx,dy,dz)$, 这样 Stokes公式可以写成形式
$${\oint }_{C^{+}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\iint }_{S^{+}}\mathrm{rot}\mathbf{F}\cdot {\mathbf{n}}^{0}dS$$

四、旋度

对向量场 $\mathbf{F}=(P,Q,R)$ ，定义下列代数式为函数 $F$ 的旋度。
$$\mathrm{rot}\mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}=\left(\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ Q& R\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial z}& \frac{\partial }{\partial x}\\ R& P\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}\\ P& Q\end{array}\right|\right)$$

若 $L$ 为 $F$ 定义区域内的定向曲线，则称下列代数式为 $F$ 沿 $L$ 的环量。
$${\int }_L\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz$$