正则化参数——0/1/核范数

http://blog.csdn.net/zouxy09，这是原文的地址，下面是按照自己熟悉的方式简化下来，感谢原作者

机器学习中出现的非常频繁的问题：过拟合与规则化。

理解常用的L0、L1、L2和核范数规则化，规则化项参数的选择问题。

监督机器学习问题无非就是“minimizeerror and regularizing parameters”，即在规则化参数的同时最小化误差。

最小化误差是为了让我们的模型拟合我们的训练数据，

而规则化参数是防止我们的模型过分拟合我们的训练数据。

多么简约的哲学啊！因为参数太多，会导致我们的模型复杂度上升，容易过拟合，也就是我们的训练误差会很小。但训练误差小并不是我们的最终目标，我们的目标是希望模型的测试误差小，也就是能准确的预测新的样本。所以，我们需要保证模型“简单”的基础上最小化训练误差，这样得到的参数才具有好的泛化性能（也就是测试误差也小），而模型“简单”就是通过规则函数来实现的。另外，规则项的使用还可以约束我们的模型的特性。这样就可以将人对这个模型的先验知识融入到模型的学习当中，强行地让学习到的模型具有人想要的特性，例如稀疏、低秩、平滑等等。要知道，有时候人的先验是非常重要的。

几种角度来看待规则化的。

规则化符合奥卡姆剃刀(Occam'srazor)原理，思想：在所有可能选择的模型中，我们应该选择能够很好地解释已知数据并且十分简单的模型。从贝叶斯估计的角度来看，规则化项对应于模型的先验概率。规则化是结构风险最小化策略的实现，是在经验风险上加一个正则化项(regularizer)或惩罚项(penaltyterm)。

      一般来说，监督学习可以看做最小化下面的目标函数：

      其中，第一项 衡量我们的模型（分类或者回归）对第i个样本的预测值 和真实的标签 之前的误差。因为模型是要拟合训练样本，所以要求这一项最小。但我们不仅要保证训练误差最小，我们更希望我们的模型测试误差小，所以需要加上第二项，也就是对参数w的规则化函数Ω(w)去约束模型尽量的简单。

      机器学习的大部分带参模型都和这个不但形似。是的，其实大部分无非就是变换这两项而已。

对于第一项Loss函数，如果是Squareloss，就是线性回归模型。

如果是HingeLoss，那就是著名的软间隔soft margin SVM。

如果是exp-Loss，就是Boosting。

如果是log-Loss，那就是LogisticRegression。

不同的loss函数，具有不同的拟合特性，这个也得就具体问题具体分析的。但这里，我们先不究loss函数的问题，我们把目光转向“规则项Ω(w)”。

      规则化函数Ω(w)也有很多种选择，一般是模型复杂度的单调递增函数，模型越复杂，规则化值就越大。比如，规则化项可以是模型参数向量的范数，不同的选择对参数w的约束不同，取得的效果也不同，但我们在论文中常见的都聚集在：0范数、1范数、2范数、tr-范数、Frobenius范数、核范数等。

 

一、L0范数与L1范数

      L0范数是指向量中非0的元素的个数。如果我们用L0范数来规则化一个参数矩阵W的话，就是希望W的大部分元素都是0。即，让参数W是稀疏的。

 

OK，看到了“稀疏”二字，从当下风风火火的“压缩感知”和“稀疏编码”中醒悟过来，原来用的漫山遍野的“稀疏”就是通过这玩意来实现的。但你又开始怀疑了，是这样吗？看到的papers世界中，稀疏不是都通过L1范数来实现吗？脑海里是不是到处都是||W||₁影子呀！几乎是抬头不见低头见。没错，这就是这节的题目把L0和L1放在一起的原因，因为他们有着某种不寻常的关系。那我们再来看看L1范数是什么？它为什么可以实现稀疏？为什么大家都用L1范数去实现稀疏，而不是L0范数呢？

      L1范数是指向量中各个元素绝对值之和，也叫“稀疏规则算子”（Lassoregularization）。

为什么L1范数会使权值稀疏？

有人可能会这样给你回答“它是L0范数的最优凸近似”。实际上，还存在一个更美的回答：任何的规则化算子，如果他在W_i=0的地方不可微，并且可以分解为一个“求和”的形式，那么这个规则化算子就可以实现稀疏。

      L0可以实现稀疏，为什么不用L0，而要用L1呢？

因为L0范数很难优化求解（NP难问题），二是L1范数是L0范数的最优凸近似，而且它比L0范数要容易优化求解。

   一定约束下等价  

 

      总结：L1范数和L0范数可以实现稀疏，L1因具有比L0更好的优化求解特性而被广泛应用。

    参数稀疏有什么好处呢？

1）特征选择(FeatureSelection)：

      大家对稀疏规则化趋之若鹜的一个关键原因在于它能实现特征的自动选择。一般来说，x_i的大部分元素（也就是特征）都是和最终的输出y_i没有关系或者不提供任何信息的，在最小化目标函数的时候考虑x_i这些额外的特征，虽然可以获得更小的训练误差，但在预测新的样本时，这些没用的信息反而会被考虑，从而干扰了对正确y_i的预测。稀疏规则化算子的引入就是为了完成特征自动选择的光荣使命，它会学习地去掉这些没有信息的特征，也就是把这些特征对应的权重置为0。

2）可解释性(Interpretability)：

      另一个青睐于稀疏的理由是，模型更容易解释。例如患某种病的概率是y，然后我们收集到的数据x是1000维的，也就是我们需要寻找这1000种因素到底是怎么影响患上这种病的概率的。假设我们这个是个回归模型：y=w₁*x₁+w₂*x₂+…+w₁₀₀₀*x₁₀₀₀+b（当然了，为了让y限定在[0,1]的范围，一般还得加个Logistic函数）。通过学习，如果最后学习到的w*就只有很少的非零元素，例如只有5个非零的w_i，那么我们就有理由相信，这些对应的特征在患病分析上面提供的信息是巨大的，决策性的。也就是说，患不患这种病只和这5个因素有关，那医生就好分析多了。但如果1000个w_i都非0，医生面对这1000种因素，累觉不爱。

 

二、L2范数

      除了L1范数，还有一种更受宠幸的规则化范数是L2范数:||W||₂。它也不逊于L1范数，它有两个美称，在回归里面，有人把有它的回归叫“岭回归”（RidgeRegression），有人也叫它“权值衰减weightdecay”。这用的很多吧，因为它的强大功效是改善机器学习里面一个非常重要的问题：过拟合。

过拟合模型训练误差很小，但在测试的时候误差很大，也就是我们的模型复杂到可以拟合到我们的所有训练样本，但在实际预测新的样本的时候，能力很差。例如下图所示（来自Ng的course）：

      上面的图是线性回归，下面的图是Logistic回归，也可以说是分类的情况。从左到右分别是欠拟合（underfitting，也称High-bias）、合适的拟合和过拟合（overfitting，也称Highvariance）三种情况。可以看到，如果模型复杂（可以拟合任意的复杂函数），它可以让我们的模型拟合所有的数据点，也就是基本上没有误差。对于回归来说，就是我们的函数曲线通过了所有的数据点，如上图右。对分类来说，就是我们的函数曲线要把所有的数据点都分类正确，如下图右。这两种情况很明显过拟合了。

为什么L2范数可以防止过拟合？

     L2范数是指向量各元素的平方和然后求平方根。我们让L2范数的规则项||W||₂最小，可以使得W的每个元素都很小，都接近于0，但与L1范数不同，它不会让它等于0，而是接近于0，这里是有很大区别。

     总结：通过L2范数，我们可以实现了对模型空间的限制，从而在一定程度上避免了过拟合。

      L2范数的好处？

1）学习理论的角度：

      从学习理论的角度来说，L2范数可以防止过拟合，提升模型的泛化能力。

2）优化计算的角度：

      从优化或者数值计算的角度来说，L2范数有助于处理condition number不好的情况下矩阵求逆很困难的问题。

优化有两大难题，一是：局部最小值，二是：ill-condition病态问题。

    如果方阵A是非奇异的，那么A的conditionnumber定义为：

      这个值大于等于1，如果方阵A是奇异的，那么A的conditionnumber就是正无穷大。实际上，每一个可逆方阵都存在一个conditionnumber。但如果要计算它，我们需要先知道这个方阵的norm（范数）和MachineEpsilon（机器的精度）。为什么要范数？范数就相当于衡量一个矩阵的大小，我们知道矩阵是没有大小的，当上面不是要衡量一个矩阵A或者向量b变化的时候，我们的解x变化的大小吗？所以肯定得要有一个东西来度量矩阵和向量的大小吧？对了，他就是范数，表示矩阵大小或者向量长度。OK，经过比较简单的证明，对于AX=b，我们可以得到以下的结论：

      也就是我们的解x的相对变化和A或者b的相对变化是有像上面那样的关系的，其中k(A)的值就相当于倍率，看到了吗？相当于x变化的界。

      对conditionnumber来个一句话总结：condition number是一个矩阵（或者它所描述的线性系统）的稳定性或者敏感度的度量，如果一个矩阵的conditionnumber在1附近，那么它就是well-conditioned的，如果远大于1，那么它就是ill-conditioned的，如果一个系统是ill-conditioned的，它的输出结果就不要太相信了。

      从优化或者数值计算的角度来说，L2范数有助于处理condition number不好的情况下矩阵求逆很困难的问题。因为目标函数如果是二次的，对于线性回归来说，那实际上是有解析解的，求导并令导数等于零即可得到最优解为：

      然而，如果当我们的样本X的数目比每个样本的维度还要小的时候，矩阵X^TX将会不是满秩的，也就是X^TX会变得不可逆，所以w*就没办法直接计算出来了。或者更确切地说，将会有无穷多个解（因为我们方程组的个数小于未知数的个数）。也就是说，我们的数据不足以确定一个解，如果我们从所有可行解里随机选一个的话，很可能并不是真正好的解，总而言之，我们过拟合了。

      但如果加上L2规则项，就变成了下面这种情况，就可以直接求逆了：

      这里面，专业点的描述是：要得到这个解，我们通常并不直接求矩阵的逆，而是通过解线性方程组的方式（例如高斯消元法）来计算。考虑没有规则项的时候，也就是λ=0的情况，如果矩阵X^TX的condition number 很大的话，解线性方程组就会在数值上相当不稳定，而这个规则项的引入则可以改善conditionnumber。

      

condition number 越小，上界就越小，也就是收敛速度会越快。

这一个优化说了那么多的东西。还是来个一句话总结吧：L2范数不但可以防止过拟合，还可以让我们的优化求解变得稳定和快速。

      好了，这里兑现上面的承诺，来直观的聊聊L1和L2的差别，为什么一个让绝对值最小，一个让平方最小，会有那么大的差别呢？我看到的有两种几何上直观的解析：

      实际上，对于L1和L2规则化的代价函数来说，我们可以写成以下形式：

      也就是说，我们将模型空间限制在w的一个L1-ball中。

     L1会趋向于产生少量的特征，而其他的特征都是0，而L2会选择更均衡的特征，这些特征都会接近于0。Lasso在特征选择时候非常有用，而Ridge就只是一种规则化而已。

三、核范数

      核范数||W||_*是指矩阵奇异值的和，英文称呼叫NuclearNorm。

约束Low-Rank（低秩）

    秩可以度量相关性，而矩阵的相关性实际上有带有了矩阵的结构信息。如果矩阵之间各行的相关性很强，那么就表示这个矩阵实际可以投影到更低维的线性子空间，也就是用几个向量就可以完全表达了，它就是低秩的。所以总结的一点：如果矩阵表达的是结构性信息，例如图像、用户-推荐表等等，那么这个矩阵各行之间存在这一定的相关性，那这个矩阵一般就是低秩的。

      

如果X是一个m行n列的数值矩阵，rank(X)是X的秩，假如rank(X)远小于m和n，则我们称X是低秩矩阵。低秩矩阵每行或每列都可以用其他的行或列线性表出，可见它包含大量的冗余信息。利用这种冗余信息，可以对缺失数据进行恢复，也可以对数据进行特征提取。

      好了，低秩有了，那约束低秩只是约束rank(w)呀，和我们这节的核范数有什么关系呢？他们的关系和L0与L1的关系一样。因为rank()是非凸的，在优化问题里面很难求解，那么就需要寻找它的凸近似来近似它了。对，你没猜错，rank(w)的凸近似就是核范数||W||_*。

      好了，到这里，我也没什么好说的了，因为我也是稍微翻看了下这个东西，所以也还没有深入去看它。但我发现了这玩意还有很多很有意思的应用，下面我们举几个典型的吧。

1）矩阵填充(MatrixCompletion)：

      我们首先说说矩阵填充用在哪。一个主流的应用是在推荐系统里面。

我们知道，推荐系统有一种方法是通过分析用户的历史记录来给用户推荐的。例如我们在看一部电影的时候，如果喜欢看，就会给它打个分，例如3颗星。然后系统，例如Netflix等知名网站就会分析这些数据，看看到底每部影片的题材到底是怎样的？针对每个人，喜欢怎样的电影，然后会给对应的用户推荐相似题材的电影。但有一个问题是：我们的网站上面有非常多的用户，也有非常多的影片，不是所有的用户都看过说有的电影，不是所有看过某电影的用户都会给它评分。假设我们用一个“用户-影片”的矩阵来描述这些记录，例如下图，可以看到，会有很多空白的地方。如果这些空白的地方存在，我们是很难对这个矩阵进行分析的，所以在分析之前，一般需要先对其进行补全。也叫矩阵填充。

      那到底怎么填呢？如何才能无中生有呢？每个空白的地方的信息是否蕴含在其他已有的信息之上了呢？如果有，怎么提取出来呢？Yeah，这就是低秩生效的地方了。这叫低秩矩阵重构问题，它可以用如下的模型表述：已知数据是一个给定的m*n矩阵A，如果其中一些元素因为某种原因丢失了，我们能否根据其他行和列的元素，将这些元素恢复？当然，如果没有其他的参考条件，想要确定这些数据很困难。但如果我们已知A的秩rank(A)<

2）鲁棒PCA：

      主成分分析，这种方法可以有效的找出数据中最“主要"的元素和结构，去除噪音和冗余，将原有的复杂数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简单结构。我们知道，最简单的主成分分析方法就是PCA了。从线性代数的角度看，PCA的目标就是使用另一组基去重新描述得到的数据空间。希望在这组新的基下，能尽量揭示原有的数据间的关系。这个维度即最重要的“主元"。PCA的目标就是找到这样的“主元”，最大程度的去除冗余和噪音的干扰。

      鲁棒主成分分析（RobustPCA）考虑的是这样一个问题：一般我们的数据矩阵X会包含结构信息，也包含噪声。那么我们可以将这个矩阵分解为两个矩阵相加，一个是低秩的（由于内部有一定的结构信息，造成各行或列间是线性相关的），另一个是稀疏的（由于含有噪声，而噪声是稀疏的），则鲁棒主成分分析可以写成以下的优化问题：

      与经典PCA问题一样，鲁棒PCA本质上也是寻找数据在低维空间上的最佳投影问题。对于低秩数据观测矩阵X，假如X受到随机（稀疏）噪声的影响，则X的低秩性就会破坏，使X变成满秩的。所以我们就需要将X分解成包含其真实结构的低秩矩阵和稀疏噪声矩阵之和。找到了低秩矩阵，实际上就找到了数据的本质低维空间。那有了PCA，为什么还有这个RobustPCA呢？Robust在哪？因为PCA假设我们的数据的噪声是高斯的，对于大的噪声或者严重的离群点，PCA会被它影响，导致无法正常工作。而RobustPCA则不存在这个假设。它只是假设它的噪声是稀疏的，而不管噪声的强弱如何。

      由于rank和L0范数在优化上存在非凸和非光滑特性，所以我们一般将它转换成求解以下一个松弛的凸优化问题：

      说个应用吧。考虑同一副人脸的多幅图像，如果将每一副人脸图像看成是一个行向量，并将这些向量组成一个矩阵的话，那么可以肯定，理论上，这个矩阵应当是低秩的。但是，由于在实际操作中，每幅图像会受到一定程度的影响，例如遮挡，噪声，光照变化，平移等。这些干扰因素的作用可以看做是一个噪声矩阵的作用。所以我们可以把我们的同一个人脸的多个不同情况下的图片各自拉长一列，然后摆成一个矩阵，对这个矩阵进行低秩和稀疏的分解，就可以得到干净的人脸图像（低秩矩阵）和噪声的矩阵了（稀疏矩阵），例如光照，遮挡等等。至于这个的用途，你懂得。

 

3）背景建模：

      背景建模的最简单情形是从固定摄相机拍摄的视频中分离背景和前景。我们将视频图像序列的每一帧图像像素值拉成一个列向量，那么多个帧也就是多个列向量就组成了一个观测矩阵。由于背景比较稳定，图像序列帧与帧之间具有极大的相似性，所以仅由背景像素组成的矩阵具有低秩特性；同时由于前景是移动的物体，占据像素比例较低，故前景像素组成的矩阵具有稀疏特性。视频观测矩阵就是这两种特性矩阵的叠加，因此，可以说视频背景建模实现的过程就是低秩矩阵恢复的过程。

 

4）变换不变低秩纹理（TILT）：

      以上章节所介绍的针对图像的低秩逼近算法，仅仅考虑图像样本之间像素的相似性，却没有考虑到图像作为二维的像素集合，其本身所具有的规律性。事实上，对于未加旋转的图像，由于图像的对称性与自相似性，我们可以将其看做是一个带噪声的低秩矩阵。当图像由端正发生旋转时，图像的对称性和规律性就会被破坏，也就是说各行像素间的线性相关性被破坏，因此矩阵的秩就会增加。

      低秩纹理映射算法(TransformInvariantLow-rank Textures，TILT)是一种用低秩性与噪声的稀疏性进行低秩纹理恢复的算法。它的思想是通过几何变换τ把D所代表的图像区域校正成正则的区域，如具有横平竖直、对称等特性，这些特性可以通过低秩性来进行刻画。

      低秩的应用非常多，大家有兴趣的可以去找些资料深入了解下。

 

四、规则化参数的选择

      现在我们回过头来看看我们的目标函数：

      里面除了loss和规则项两块外，还有一个参数λ。它也有个霸气的名字，叫hyper-parameters（超参）。你不要看它势单力薄的，它非常重要。它的取值很大时候会决定我们的模型的性能，事关模型生死。它主要是平衡loss和规则项这两项的，λ越大，就表示规则项要比模型训练误差更重要，也就是相比于要模型拟合我们的数据，我们更希望我们的模型能满足我们约束的Ω(w)的特性。反之亦然。举个极端情况，例如λ=0时，就没有后面那一项，代价函数的最小化全部取决于第一项，也就是集全力使得输出和期待输出差别最小，那什么时候差别最小啊，当然是我们的函数或者曲线可以经过所有的点了，这时候误差就接近0，也就是过拟合了。它可以复杂的代表或者记忆所有这些样本，但对于一个新来的样本泛化能力就不行了。毕竟新的样本会和训练样本有差别的嘛。

      那我们真正需要什么呢？我们希望我们的模型既可以拟合我们的数据，又具有我们约束它的特性。只有它们两者的完美结合，才能让我们的模型在我们的任务上发挥强大的性能。所以如何讨好它，是非常重要。在这点上，大家可能深有体会。还记得你复现了很多论文，然后复现出来的代码跑出来的准确率没有论文说的那么高，甚至还差之万里。这时候，你就会怀疑，到底是论文的问题，还是你实现的问题？实际上，除了这两个问题，我们还需要深入思考另一个问题：论文提出的模型是否具有hyper-parameters？论文给出了它们的实验取值了吗？经验取值还是经过交叉验证的取值？这个问题是逃不掉的，因为几乎任何一个问题或者模型都会具有hyper-parameters，只是有时候它是隐藏着的，你看不到而已，但一旦你发现了，证明你俩有缘，那请试着去修改下它吧，有可能有“奇迹”发生哦。

    关于lambda的取值，SpaRSA方法的一篇文章中采用动态选择可以借鉴。

本文直接在zouxy09的文章上简化过来，感谢原作者的思路分享。