LeetCode 2035. 将数组分成两个数组并最小化数组和的差

一、题目

1、题目描述

  给你一个长度为 2 * n的整数数组。你需要将 nums分成 两个 长度为 n的数组，分别求出两个数组的和，并 最小化 两个数组和之 差的绝对值 。nums 中每个元素都需要放入两个数组之一。请你返回 最小 的数组和之差。
  样例输入： [3,9,7,3]
  样例输出： 2

2、基础框架

• C++ 版本给出的基础框架代码如下：

class Solution {
public:
    int minimumDifference(vector<int>& nums) {
        
    }
};

3、原题链接

LeetCode 2035. 将数组分成两个数组并最小化数组和的差

二、解题报告

1、思路分析

  $(1)$ 假设所有数的和为 $sum$，要求的是选出一堆数，它们的和为 $x$，剩下的数和就是 $sum-x$，要求的是 $|(sum-x)-x|$，也就是 $|sum-2x|$ 最小。这是个背包问题，但是数据量太大了，所以动态规划撑不住。
  $(2)$ $x$ 如果通过暴力枚举得到，则总共有 $C_{2n}^n$ 种情况，当 $n=15$ 时，数据量太大了。
  $(3)$ 我们可以砍掉一半，数组的左边 $n$ 个数，枚举出所有情况；数组的右边 $n$ 个数，枚举出所有情况。进行排序以后，枚举左边的所有情况，并且右边的对应情况中二分找满足条件的解。
  $(4)$ 对于数组 [1,2,3,-1,-2,-3]，仔细解释一下：

左边取 3 个
选了 0 个，得到的可能的和如下：0 
选了 1 个，得到的可能的和如下：1 2 3 
选了 2 个，得到的可能的和如下：3 4 5 
选了 3 个，得到的可能的和如下：6 
---
右边取 3 个
选了 0 个，得到的可能的和如下：0 
选了 1 个，得到的可能的和如下：-3 -2 -1 
选了 2 个，得到的可能的和如下：-5 -4 -3 
选了 3 个，得到的可能的和如下：-6

2、算法详解

  $(1)$ 将 $2n$ 个数分成两边，每一边分别 $n$ 个数，如果左边取 $i$ 个数，则右边就需要取 $n-i$ 个数。把左边的 $i$ 个数和右边的 $n-i$ 个数的和加在一起就组成了 $n$ 个数的和 $x$。
  $(2)$ 可以通过暴力枚举，把左边的 $i$ 个数能够得到的和都存储在vector l[i]数组里，把右边的 $i$ 个数能够得到的和都存储在vector r[i]数组里，通过二进制枚举子集计算这两个数组。

    void getSum(vector<int>& nums, int cnt, int start, vector<int> ans[16]) {
        int i, j;
        for(i = 0; i < (1<<cnt); ++i) {
            int sum = 0;
            for(j = start; j < start + cnt; ++j) {
                if( (1<<(j-start)) & i ) {
                    sum += nums[j];
                }
            }
            ans[ bitCount(i) ].push_back( sum );
        }
        for(i = 0; i <= cnt; ++i) {
            sort(ans[i].begin(), ans[i].end());                                
            ans[i].erase(unique(ans[i].begin(), ans[i].end()), ans[i].end());
        }
    }
    
    getSum(nums, n, 0, l);
    getSum(nums, n, n, r);

  $(3)$ l[i][j]代表了 左边 $n$ 个数取 $i$ 个数，它的和等于 l[i][j]，则右边必须取 n-i个数， 也就是要去r[n-i][...]里面找一个满足条件的值。什么条件呢？对于 l[i][j] + r[n-i][...]就是我们之前提到的 x，于是问题转变成 | sum - 2*(l[i][j] + r[n-i][...]) |的最小值。
  $(4)$ l[i][j]可以通过枚举得出，所以是常量，我们就把它定义为val，sum可以预处理所有的和，也是常量。只有r[n-i][...]是一个变量，并且r[n-i]是一个单调递增的数组。
  $(5)$ 我们考虑一个函数：
$$y=sum-2\ast (val+x)$$
随着 $x$ 的增加，函数单调递减，所以是一个单调递减函数。当这个函数和 $x$ 轴有交点的时候，由于绝对值一定是大于等于零，所以在函数图像上，后面那部分小于等于零的部分，会绕着$x$ 轴进行翻转，于是这个函数就变成了一个有极小值的函数，直接三分求解。

3、时间复杂度

   最坏时间复杂度 $O(2^{\frac{n}{2}}lo{g}_3{2}^{\frac{n}{2}})$，所以大概时间复杂度就是 $O(n{2}^n)$。

4、代码详解

class Solution {
    int bitCount(int x) {
        int cnt = 0;
        while(x) {
            x &= (x - 1);
            ++cnt;
        }
        return cnt;
    }


    void getSum(vector<int>& nums, int cnt, int start, vector<int> ans[16]) {
        int i, j;
        for(i = 0; i < (1<<cnt); ++i) {
            int sum = 0;
            for(j = start; j < start + cnt; ++j) {
                if( (1<<(j-start)) & i ) {      // i表示一个集合，前面的左移部分，表示第 j 个元素是否被选取
                    sum += nums[j];
                }
            }
            ans[ bitCount(i) ].push_back( sum );
        }
        for(i = 0; i <= cnt; ++i) {
            sort(ans[i].begin(), ans[i].end());                                 // 排序
            ans[i].erase(unique(ans[i].begin(), ans[i].end()), ans[i].end());   // 去重

            //printf("选了 %d 个，得到的可能的和如下：\n", i);
            /*for(j = 0; j < ans[i].size(); ++j) {
                printf("%d ", ans[i][j]);
            }*/
            //puts("");
        }
        //puts("---");
    }

    int f(int sum, int val, int x) {
        return abs(sum - 2*val - 2*x);
    }

    // | sum - 2*(val + a[...]) | 的最小值
    int get(int sum, int val, vector<int>& a) {
        // 在 r 里面找到一个值，使得  |sum - 2(val + a[i])| 的值最小
        int l = 0;
        int ret = 1000000000;
        int r = a.size() - 1;
        while(l <= r) {
            int lmid = (2*l + r) / 3;
            int rmid = (l + r*2) / 3;
            int lans = f(sum, val, a[lmid]);
            int rans = f(sum, val, a[rmid]);
            if(lans <= rans) {
                r = rmid - 1;
            }else {
                l = lmid + 1;
            }

            ret = min(ret, lans);
            ret = min(ret, rans);
        }
        return ret;
    }

public:
    int minimumDifference(vector<int>& nums) {
        int n2 = nums.size();
        int n = n2 / 2;
        int i, j;
        int sum = 0;
        vector<int> l[16], r[16];
        for(i = 0; i < nums.size(); ++i) {
            sum += nums[i];
        }
        //printf("左边 %d 个\n", n);
        getSum(nums, n, 0, l);
        //printf("右边 %d 个\n", n);
        getSum(nums, n, n, r);

        int ans = 1000000000;
        for(i = 0; i <= n; ++i) {
            for(j = 0; j < l[i].size(); ++j) {
                // l[i][j]   代表了 左边 n 个数取 i 个数，它的和等于 l[i][j]
                // 则右边必须取  n-i 个数， 也就是要去   r[n-i][...] 里面找
                // 对于 l[i][j] + r[n-i][...] 就是我们之前提到的 x
                // 问题转变成   | sum - 2*(l[i][j] + r[n-i][...]) |  的最小值

                ans = min(ans,  get(sum, l[i][j], r[n-i]) );
            }   
        }

        return ans;
    }
};

---

三、本题小知识

  任何复杂的问题，转换成函数以后，就能逐渐抽丝剥茧，揭露真相。

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四、加群须知

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