贪心——最小生成树Kruskal算法

构造最小生成树还有一种算法，Kurskal算法：设G=（V，E）是无向连通带权图，V={1，2，…，n}；设最小生成树T=（V，TE），该树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=（V，{}），Kruskal算法将这n个顶点看成是n个孤立的连通分支。它首先将所有的边按权值从小到大排序，然后只要T中选中的边数不到n−1，就做如下的贪心选择：在边集E中选取权值最小的边（i，j），如果将边（i，j）加入集合TE中不产生回路（圈），则将边（i，j）加入边集TE中，即用边（i，j）将这两个连通分支合并连接成一个连通分支；否则继续选择下一条最短边。把边（i，j）从集合E中删去。继续上面的贪心选择，直到T中所有顶点都在同一个连通分支上为止。此时，选取到的n−1条边恰好构成G的一棵最小生成树T。

那么，怎样判断加入某条边后图T会不会出现回路呢？

该算法对于手工计算十分方便，因为用肉眼可以很容易看到挑选哪些边能够避免构成回路（避圈法），但使用计算机程序来实现时，还需要一种机制来进行判断。Kruskal算法用了一个非常聪明的方法，就是运用集合避圈：如果所选择加入的边的起点和终点都在T的集合中，那么就可以断定一定会形成回路（圈）。其实就是我们前面提到的“避圈法”：边的两个结点不能属于同一集合。

步骤1：初始化。将图G的边集E中的所有边按权值从小到大排序，边集TE={ }，把每个顶点都初始化为一个孤立的分支，即一个顶点对应一个集合。

步骤2：在E中寻找权值最小的边（i，j）。

步骤3：如果顶点i和j位于两个不同连通分支，则将边（i，j）加入边集TE，并执行合并操作，将两个连通分支进行合并。

步骤4：将边（i，j）从集合E中删去，即E=E−{（i，j）}。

步骤 5：如果选取边数小于n−1，转步骤2；否则，算法结束，生成最小生成树T。

源代码：

#include 
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using namespace std;

const int N=111;
int nodeset[N];//结点的集合。
int n;//结点的数量
int m;//边的数量

struct Edge //边的结构体
{
    int u;//结点
    int v;//结点
    int w;//点和点之间的权值
}e[N*N];
//构造一个邻接矩阵


bool cmp(Edge x,Edge y) //将权值从小到大排序的一个函数
{
    return x.w < y.w;
}

void init(int n) //初始化结点函数（相当于把每个结点都当成孤立的连通分支）
{
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        nodeset[i]=i;
    }
}

int Merge(int a ,int b) //合并集合的函数（避圈法）
{
    int p=nodeset[a];
    int q=nodeset[b];
    if (p==q)
        return 0;//如果两个结点号一样就会形成联通，不符合最小生成树的条件。
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (nodeset[i]==q)
        {
            nodeset[i]=p;//把结点数小的换成大的。合并成一个集合。
        }
    }
    return 1;
}

int Kruskal(int n)
{
    int ans=0;//记录权值之和
    for (int i=0;i> n >> m;
    init(n);//将结点形成独立连通分支
    cout << "请输入结点编号u，v和结点之间的权值w"<< endl;
    for (int i=0;i> e[i].u >> e[i].v >> e[i].w;
    }
    sort(e,e+m,cmp); //将边值从小到大排序
    int ans=Kruskal(n);
    cout << "最小生成树的最小花费是："<