[hihocoder1323]回文字符串

这是一道hiho一下 第162周的笔试题。

题目描述

时间限制:10000ms
单点时限:1000ms
内存限制:256MB
描述
给定一个字符串 S ，最少需要几次增删改操作可以把 S 变成一个回文字符串？

一次操作可以在任意位置插入一个字符，或者删除任意一个字符，或者把任意一个字符修改成任意其他字符。

输入
字符串 S。S 的长度不超过100, 只包含’A’-‘Z’。

输出
最少的修改次数。

样例输入
ABAD
样例输出
1

算法简介

刚开始看到长度不超过100，还觉得应该可以直接穷搜了，后来发现动作空间过大，所以转而考虑动归。进而想到了删头去尾的递归策略。
首先缩减动作空间。题目中给出的动作空间包括增加、删除和修改，这三个操作必然是冗余的（例如增加后删除原字符等于修改）。增加操作某种程度上难于编码，所以首先证明增加操作的冗余性。假设增加的字符存在于最终生成的回文串中，若其位于回文串正中央，则可以删除，从而存在操作更少的回文串；若其位于其他位置，若其相对应位置上的字符是增加得来，则可以两个字符都不增加，从而存在操作更少的回文串；若其字符为修改或者不变得来，则可以通过删除对应原有字符，得到操作数相同或者更少的回文串。若增加的字符不存在于最终的回文串中，则可以忽略此操作及其抵消操作，得到操作数更少的回文串。综上，可以不使用增加操作得到操作数最少的回文串。
递归策略采用的为删头去尾策略。具体地，对于给定字符串string，长度为len，操作集为删除或者修改。若字符串头尾相同，则最少操作数为string[1:-1]的最少操作数（因为若需要删除或修改头尾，亦可以替换到删除或修改string[1:-1]的某个字符）。若字符串头尾不同，则有三种修改可能性：删除头、删除尾、修改至头尾相同。删除头尾都是在操作集内的应有之举，而除了删除头尾之外的操作中只有修改至头尾相同可能生出最少操作的回文字符串，因为：同时删除头尾需要两个操作，且可以被修改头尾至同一字符替换，最终同样得到回文串，且操作减一，从而同时删除头尾的操作不可能生出操作数最少的回文串；修改头尾任意字符为其他字符，也不是生出回文串的有意义之举。
注意到这里采用了递归，而且每次递归长度递减，从而必定可以停止。
可以使用动态规划增加递归效率，列表则为每个子串变为回文串的最少操作数，每个子串通过起始位置和子串长度定义。

代码

使用G++编译的C++代码。

#include 
#include 

using namespace std;

int table[102][102];
char str[200] = {0};

int ccount(int s,int len) {
    if (table[s][len] != -1)
        return table[s][len];
    if (len <= 0)
        return 0;
    if (len == 1)
        return 0;
    if (len == 2) {
        if (str[s] == str[s+1])
            return 0;
        else
            return 1;
    }
    if (str[s] == str[s+len-1])
        return ccount(s+1,len-2);
    int min_result = len+1;
    int tmp_result = ccount(s,len-1)+1;
    if (tmp_result < min_result)
        min_result = tmp_result;
    tmp_result = ccount(s+1,len-1)+1;
    if (tmp_result < min_result)
        min_result = tmp_result;
    tmp_result = ccount(s+1,len-2)+1;
    if (tmp_result < min_result)
        min_result = tmp_result;
    table[s][len] = min_result;
    return min_result;
}

int main()
{
    for (int i = 0;i < 102;++i) {
        for (int j = 0;j < 102;++j)
            table[i][j] = -1;
    }
    cin >> str;
    cout << ccount(0,strlen(str)) << endl;
    return 0;
}