递归算法分析-最简单的例子

概述

递归算法在算法设计中，是一种比较难以理解的算法存在，感觉递归算法无限套娃，最终居然也能返回正确结果，对于初入坑的童靴是一个神一般的存在。本文通过对递归算法的一个例子，从最简单的例子中，逐步撕开其神秘面纱。

最简单的题目

给你一个整数数组，要求返回这个数组中的最大值

要求使用递归算法。

如：数组{1,44,-9,10,18,6,22}最大值为44

分析

相信拿到这个简单题目的同学一定很开心，这不是最简单的一道题吗？遍历数组，保存最大值即可完成。但如果是要求使用递归算法呢？那该如何做解？

递归一般套路都是，将大问题分解成小一点的问题，再继续分解成更小的问题，直到这个最小的问题我们是知道答案的，也就是递归的边界

那在这道题中，我们该如何去分解这个场景呢？

我们可以这么想，要想知道n个整数数组的最大值，我们是不是可以分解成n-1个整数数组的最大值和第n个数值比较，取出最大值。要想知道n-1个整数数组的最大值，就可以分解成n-2个整数数组的最大值和第n-1个数值比较，依此套娃下去，直到n=1的时候，我们是可以直到n=1的最大值就是他本身，然后再顺着回去，原来怎么套，回去就怎么解

代码（golang）

通过以上的分析，我们可以得出以下的代码内容，详细思路看代码注解

func main() {
	s:= []int{1,44,-9,10,18,6,22}
	fmt.Println(findMaxInt(s))
}
func findMaxInt(s []int) int{
	//递归的边界，当整个数组只有一个元素时
	if len(s)==1{
		return s[0]
	}
	//求解数组长度为n-1时的情况
		return max(findMaxInt(s[0:len(s)-1]),s[len(s)-1])

}
//返回两个整数的最大值
func max(i,j int)int{
	if i>j{
		return i
	}else{
		return j
	}
}

强烈不理解的童鞋打开调试，跟着调试一起走，非常清晰可以看到一个栈，这是一个先入后出的队列。

复杂度分析

时间复杂度

递归的时间复杂度跟递归调用次数相关，分析代码可知，我们一共调用了n次，第一次是求有n个数组，第二次是求含有n-1个数组…直到边界条件n=1，所以一共调用了n次，时间复杂度为O(n)。

空间复杂度

递归的空间复杂度跟递归堆栈有关，这里最大需要用到n个堆栈，每一次调用，都需要压一次栈，所以空间复杂度为O(n)

使用迭代算法

这道题如果使用迭代算法，时间复杂度一样，空间复杂度可以优化为O(1)

具体代码如下

func main() {
   s:= []int{1,44,-9,10,18,6,22}
   //初始化答案为0
   ans :=0
   for _,v:=range s{
      if v>ans{
         ans=v
      }
   }
   fmt.Println(ans)
}

其实迭代算法也是将问题缩小的过程，只不过求解方向跟递归正好相反。迭代时先计算只有1个整数的数组情况，然后计算2个，3个。。。到n个，这其中就不需要使用栈，我们可以使用一个临时变量来保存当前的最大值，最后返回最大值即可，空间复杂度为O(1)，大大低于递归算法。

总结

这道题使用的递归算法求解显然没有迭代的方式来得更加优秀，主要是用来展示下递归是如何使用和工作的，递归主要开销是来源于栈空间的，如果栈空间满了，则程序就溢出了，建议最好使用迭代方式，可以自主控制队列容量大小。这类的求最值，我们可以用DP（动态规划）的方式来进行分析，原理基本是一致的。