ACWING\2032. 过度种植 (容斥原理与扫描线）

输入样例：

2
0 5 4 1
2 4 6 2

输出样例：

20

题解

题目解读：

注意题目中给出 “轴向对齐”（即具有垂直和水平边）的矩形 的设定，若把每个给出的矩形区域面积计算，则交集出x、y方向矩形为重复计算的面积，这里即计算多个矩形重合后的尽占地面积。

方法一：扫描线 区间求交

如下图，以x方向将每个出现x坐标平行于y轴画一条线，若有n个矩形，则出现2n条线，将整个草地划分为2n-1个区域。每个区域内若存在种草的矩形，则一定是x方向的长度相同，只在y方向上考虑是否出现区间交错。

首先处理x方向的画扫描线，需要将所有矩形按照x轴排序一次，将每个矩形的上下y轴坐标点添加到所属的扫描区域。

接下来处理每个扫描区域。由于x方向的长度相同，只需要确定y方向的实际长度即可。将y方向的线段进行排序，然后从小到达依次遍历得到实际y方向长度，获得占地面积。

将每个区域的面积相加即可。

方法二：容斥原理

由于本题限制了N的大小，所以可以使用容斥原理直接暴力计算面积大小。

对于多个集合求并集的公式如下，可以转化为交集计算：

$$\left|\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right|=\sum _{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum _{i,j:1\le i<j\le n}\left|A_i\cap A_j\right|+\sum _{i,j,k:1\le i<j<k\le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\dots +(-1{)}^{n-1}\left|A_1\cap \dots \cap A_n\right|$$

公式中即对从1到n个集合进行求交集，再转化为整体的并集。

交集计算非常简单，对于两个规整的x y轴方向平行矩形，在笛卡尔坐标系下，可以有如下公式：

• 左上坐标x1 = max(Rec1.x1,Rec2.x1)
• 左上坐标y1 = min(Rec1.y1,Rec2.y1)
• 右下坐标x2 = min(Rec1.x2,Rec2.x2)
• 右下坐标y2 = max(Rec1.y2,Rec2.y2)

则将如上公式带入计算就可以暴力得到面积。

代码逻辑如下：

• 利用二进制遍历每一种 矩形组合的情况,n个矩形,刚好有2^n种，即遍历1到 1>>n，每个数字的二进制就代表其矩形求交集的情况。如5的二进制为101表示第0和第3的矩形求交集。
• 将每个组合状态的矩形按照如上交集公式遍历求得即可，若矩形数量为偶数，则需要减，奇数为加。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 20, INF = 1e5;

struct Rect{
        int x1,y1,x2,y2; // 左上 右下坐标
}rect[N];

int n;

int get(int state){
        // state表示存在的矩形
        int x1 = -INF,y1 = INF,x2 = INF,y2 = -INF; // 交集矩形的坐标
        int cnt = 0; // 计算矩阵个数
        for(int i = 0;i<n;i++){
                if(state>>i&1){
                        // 第i个矩形加入计算
                        cnt++;
                        x1 = max(x1,rect[i].x1); 
                        x2 = min(x2,rect[i].x2);
                        y1 = min(y1,rect[i].y1);
                        y2 = max(y2,rect[i].y2);                        
                }
        }
        int area = max(x2-x1,0) * max(y1-y2,0);
        area = cnt%2? area:-area;
        return area;
}

int main(){
        cin>>n;
        for(int i = 0;i<n;i++){
                int x1,y1,x2,y2;
                cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
                rect[i] = {x1,y1,x2,y2};
        }
        int ans = 0;
        for(int i = 1;i< (1<<n); i++){
                // 二进制代表每一个位置，从0到n-1位置代表一个矩形是否加入计算
                ans += get(i);
        }
        
        cout<<ans<<endl;
        
        return 0;
}