线性代数Python计算：Python数系

Python作为计算机程序设计语言，受计算机物理结构的限制，无法表示出完整的整数集合ℤ、有理数集合ℚ、实数集合ℝ及复数集合ℂ。然而，Python所模拟的ℤ、ℚ、ℝ和ℂ在大多数实际应用中可以满足需求。
具体地说，Python中的整数取值范围仅受计算机内存容量的限制，而不受CPU字长限制。Python的浮点数的精度和取值范围均受CPU的字长限制。以float64为例，有效数字为 $15$~$16$位，取值范围为$-1.7\times 10^{308}$~$1.7\times 10^{308}$。也就是说，Python以取值范围16位有效数字的有理数集合模拟ℚ乃至于实数集ℝ。Python还内置了复数类型$a+b\mathbf{j}$来模拟复数集ℂ，其中$\mathbf{j}$表示虚单位。$a$和$b$分别表示复数的实部和虚部，为浮点型数据。Python将整数、浮点数和复数统称为数字型数据。

	运算	运算结果	备注
(1)	x + y	x 和 y 的和
(2)	x - y	x 和 y 的差
(3)	x * y	x 和 y 的乘积
(4)	x / y	x 和 y 的商
(5)	x // y	x 和 y 商的整数部分	$\lfloor \text{x}/\text{y}\rfloor$
(6)	x % y	x / y 的余数	x-(x//y)*y
(7)	x ** y	x 的 y 次幂
(8)	-x	x 取反	单目运算
(9)	+x	x 不变	单目运算

上表中的运算可施于所有数字型数据上。需要说明的是(4)商运算$/$和(5)整商运算$//$，前者运算的结果是浮点型数据，而后者运算结果是整型数据。Python代码中，整型数据不含小数，浮点型数据含小数。Python根据用户输入的数据或表达式计算结果自动判断数据类型，请看下列例子代码。
例1 Python数字型数据的算术运算。

a=4                     #整型
b=3                     #整型
c=a+b                   #整型
print(c,type(c))
c=a/b                   #浮点型
print(c,type(c))
c=a//b                  #整型
print(c,type(c))
b=3.0                   #浮点型
c=a+b                   #浮点型
print(c,type(c))
a=0.1+0.2               #浮点型0.1+0.2
b=0.3                   #浮点型0.3
print(a==b)             #浮点数据相等判断
print(abs(a-b)<1e-10)   #浮点数据比较
a=1+2j                  #复数型
c=a/b                   #复数型
print(c,type(c))

程序的第1、2行输入整型数据4和3（没有小数）赋予变量a和b。注意，Python用“=”作为对变量赋值的运算符，表示两个数据是否相等的比较运算符为“==”。第3行将运算而得的a与b的和a+b赋予变量c，由于加法运算对整数是封闭的（运算结果仍为整数），故c亦为整型数据，第4行输出c。
第5行将a与b的商a/b赋予c，由于整数集合KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mathds at position 1: \̲m̲a̲t̲h̲d̲s̲{Z}构成环（参见例1-6），而不构成域（参见例1-8），故对于除法运算不是封闭的。此时，c自动转换为浮点型数据，第6行输出c。
第7行将a与b的整数商a//b（即$\lfloor \text{a}/\text{b}\rfloor$）赋予c。此时，运算结果为整型数据，故c为整型。第8行输出c。\par
在表达式中既有整型又有浮点型数据混合运算时，Python会将表达式中的整型计算成分自动转换成浮点型，运算的结果自然称为浮点型数据。第9行将浮点型数据3.0（带小数）赋予b，第10行将a与b的和a+b赋予c。注意此时a是整型数据（4），b是浮点数据（3.0），故c是浮点型数据。第11行输出c。
第12行将浮点型数据0.1与0.2的和赋予a，第13行将浮点型数据0.3赋予b。第14行输出相等计较表达式a==b的值：若a的值与b的值相等，该值为“True”，否则为“False”。第15行输出小于比较表达式abs(a-b)<1e-10，即$|a-b|<\frac{1}{10^{10}}$的值：a与b的差的绝对值小于$\frac{1}{10^{10}}$该值为“True”，否则为“False”。按常识，这两个判断应该都是“True”。但是，a和b存储的是浮点型数据，它们只有有限个有效位，在有效位范围之外的情形是无法预测的。a作为0.2与0.3的和，是将两个浮点数据的无效位数通过相加传递给和，产生了第三个无效位情形，这可能会“放大”无效位效应。事实上，将其与存储在b的浮点型数据0.3进行相等比较（第14行），得出的结果是“False”。为正确地比较两个浮点型数据a和b是否相等，采用第15行的办法：计算两者差的绝对值abs(a-b)，考察其值是否“很小”——小于一个设定一个“阀值”——此处为$\frac{1}{10^{10}}$（1e-10），此时结果为“True”。
第16行将复数数据1+2j赋予变量a，虽然输入的实部1和虚部2均未带小数，但Python会自动将其转换成浮点型。第17行将算得的a/b赋予c，第18行输出c。
运行程序，输出

1.3333333333333333 <class 'float'>
1 <class 'int'>
7.0 <class 'float'>
False
True
(0.3333333333333333+0.6666666666666666j) <class 'complex'>

所有的有理数可以表示成分数。Python有一个附加的分数型Fraction类，用于精确表示有理数。
例2 有理数的精确表示。

from fractions import Fraction as F     #导入Fraction
a=F(4,1)                                #4的分数型
b=F(3)                                  #3的分数型
c=a/b                                   #分数型4/3
print(c)
d=F(1/3)                                #用浮点型初始化分数对象
print(d)                                #输出分数近似值
print(d.limit_denominator())            #最接近真值的分数

分数型数据用Fraction的初始化函数创建，其调用接口为
$$\text{Fraction(d, v)}$$
参数d和v分别表示分数的分子和分母。整数的分母为1，可以省略。程序中的第1行导入Fraction，为简化代码书写，取别名为F。第2、3行分别将4和3以分数型数据赋予变量a和b。前者以分子，分母方式输入，后者省略分母1。第4行计算a与b的商a/b并赋予c。第5行输出c。第6行用浮点型数据1/3初始化有理数d，第7行输出d，它是无穷小数0.3333……近似值。第8行调用Fraction对象的成员方法limit.denominator，算得最接近0.3333……的分数，即1/3。运行程序，将输出

4/3
6004799503160661/18014398509481984
1/3

读者可将此与程序1中相应输出项对比。
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