从斐波那契数入手动态规划

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
示例 2：

输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
示例 3：

输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

思考

这一题用简单的方法，其实就是直接维护需要求得数值的前两个数即可。

实现

public int fib(int n) {
        int a=0;
        int b=1;
        int fn=0;
        
        if(n==0) return 0;
        if(n==1) return 1;
        
        for (int i=2;i<=n;i++){
            fn = a + b;
            a=b;
            b=fn;
        }
        return fn;
    }

其实这道题可以用动态规划的思想来解决

• 1、确定dp数组已经dp数组下标的意义

  • dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]

• 2、确定递推公式

  • 这道题简单之处就是把递推公式给我们了
  • 状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

• 3、dp 数组初始化

dp[0] = 0;
dp[1] = 1;

• 4、确定遍历顺序

  • 从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

• 5、举例推导dp数组

  按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

  0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

  如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

//非压缩状态的版本
class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n <= 1) return n;             
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int index = 2; index <= n; index++){
            dp[index] = dp[index - 1] + dp[index - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}