清风数学建模学习笔记（一）——层次分析法

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引例

填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。

解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题：
① 我们评价的目标是什么？
选择最佳的旅游地
② 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
苏杭、北戴河、桂林。
③ 评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）
查阅相关资料自己确定。经查阅资料，确定金色、花费、居住、饮食、交通五种指标。

一、构建层次分析矩阵

示例：确定了指标之后，我们需要构造权重表格。

	指标权重	苏杭	北戴河	桂林
景色
花费
居住
饮食
交通

问题：
一次性考虑这五个指标之间的关系，往往考虑不周。
解决方法：
两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重。

1.层次分析法的思想

如果用1‐9表示重要程度（见下表），请你两两比较上述这五个指标对于选择最终的旅游景点的重要性。

标度	含义
1	表示两个因素相比，具有同样重要性
3	表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要
5	表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要
7	表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要
9	表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
2,4,6,8	上述两相邻判断的中值
倒数	A和B相比如果标度为3，那么B和A相比就是1/3

根据上面的表格，我们填好了上面的表。

	景色	花费	居住	饮食	交通
景色	1	1/2	4	3	3
花费	2	1	7	5	5
居住	1/4	1/7	1	1/2	1/3
饮食	1/3	1/5	2	1	1
交通	1/3	1/5	3	1	1

总结：上面这个表是一个5x5的方阵，我们记为A，对应的元素为$a_{ij}$
这个方阵有如下特点：
（1）$a_{ij}$表示的意义是，与指标相比，的重要程度。
（2）当=时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对角线元素为1。
（3）$a_{ij}$＞ 0且满足$a_{ij}$x $a_{ji}$ =1 （我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵）
实际上，上面这个矩阵就是层次分析法中的判断矩阵

问题：得到判断矩阵，如何计算权重呢？

2.构造判断矩阵

以景色为例，根据上面的矩阵构造的判断矩阵如下：

景色	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	2	5
北戴河	1/2	1	2
桂林	1/5	1/2	1

接下来我们引入一致性矩阵的概念
$a_{ij}$=$\frac{i的重要程度}{j的重要程度}$
$a_{jk}$=$\frac{j的重要程度}{k的重要程度}$
$a_{ik}$=$\frac{i的重要程度}{k的重要程度}$=$a_{ij}$x$a_{jk}$

一致矩阵的定义：
若矩阵中每个元素$a_{ij}$> 0且满足$a_{ij}$x$a_{ji}$=1，则我们称该矩阵为正互反矩阵。
在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。
若正互反矩阵满足$a_{ik}$=$a_{ij}$x$a_{jk}$则我们称其为一致矩阵
!在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验

3.一致性检验的步骤

第一步：计算一致性指标CI
CI=$\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}$
第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
RI	0	0	0.52	0.89	1.12	1.26	1.36	1.41	1.46	1。49	1.52	1.54	1.56	1.58	1.59

第三步：计算一致性比例CR
CR=$\frac{CI}{RI}$

如果CR＜0.1，则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正。

4.计算权重

方法一：算数平均法求权重

方法二：几何平均法求权重

方法三：特征值法求权重

**，

二、层次分析法

1.概念

层次分析法（The Analytic Hierarchy Process即 AHP)是由美国运筹学家、匹兹堡大学教授T . L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合评价方法，是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的，它较合理地解决了定性问题定量化的处理过程。

AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次
结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点。

2.步骤

第一步：分析系统中个元素之间的关系，建立系统的递阶层次结构
第二步：对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）
第三步：由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）.
三种方法计算权重：
（1）算术平均法（2）几何平均法（3）特征值
**注：（1）一致矩阵不需要进行一致性检验，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验；（2）在论文写作中，应该先进行一致性检验