背景
在我们的工作和生活中，有非常多带有约束的问题需要解决。例如，
- 在预算有限的情况下，如何买到区位、学区、楼龄、户型都比较满意的房子？
- 分布在北京各个地区的几个哥们要聚餐，选择哪个餐厅才能让大家通行距离比较接近，餐厅口味也不错？
- 公司有一个由10辆车组成的车队，从仓库出发为100家企业配送物资，每家企业都有不同的收货时间窗口，物资体积、重量也各不相同，同时，车辆有其最大载容、载重及最大行驶距离。如何做车辆与企业匹配和路径规划，能够满足要求的同时最小化成本？
解决这类问题有比较常用的套路，即使不了解运筹优化底层原理，也能够快速解决问题，简称“三段式”：
- 定义问题
- 建模问题
- 利用成熟的求解器求解问题
在求解器中，可以分为商业求解器和开源求解器。财大气粗的传统行业以购买商业求解器为主，通常解决的问题规模大、计算性能好；互联网公司以开源求解器为主，稍逊色，好处是免费，一般场景下也够用了。当然，如果问题比较特殊（e.g.时效要求较高），需要自行编码完成求解过程。
我们接下来要介绍的ortools是google开源的一种运筹优化工具。之所以称为“工具”，是因为ortools不仅自研了cpsat求解器，也提供了对开源求解器（e.g.SCIP）、商业求解器（Gurobi、CPLEX）的支持。
需要补充一点，不同的求解器/工具有其擅长之处。就算是开源工具，不同工具也各自优劣。例如，ortools提供了线性规划、整数规划、约束规划以及后续VRP问题、网络流问题等场景化应用，但ortools API十分匮乏，相关资料较少；jsprit则聚焦在VRP问题，项目整体具有比较好的设计理念，非常适合公司层面的项目开发，缺点也比较明显，它只支持VRP问题。
本系列主要以ortools官方指南为蓝本，从实际应用的角度出发，解读ortools工具，并提供使用案例及代码解读。
核心模块
核心模块大体可以分为两部分，前面3个模块是基础功能：
- 线性规划（Linear Optimization）
- 整数规划（Integer Optimization）
- 约束规划（Constraint Optimization）
后面5个模块偏重场景应用：
- 分配（Assignment）
- 路径规划（Routing）
- 装箱（Bin Packing）
- 网络流（Network Flows）
- 调度（Scheduling）
基础功能
线性规划
线性规划问题指，目标函数和约束条件都为线性的优化问题。
例如，
$$ \begin{equation} \begin{array}{r} \operatorname{maximize} x_{1}+2 x_{2} \\ \text { subject to } x_{1}+x_{2} \leq 3 \\ x_{2} \leq 2 \\ x_{1} \geq 0 \\ x_{2} \geq 0 \end{array} \end{equation} $$
几何含义：在可行域内（4条实线包围的蓝色区域）移动目标函数（虚线），使得目标函数最大化。
整数规划
整数规划一般指约束变量含有整数的优化问题。
例如，常见的背包问题
设有一个背包，其最大承重为 b ，考虑 n 件物品，其中第 j 件重量为 \( a_j \) ，其价值为 \(c_j\)。问如何选取物品装入背包中，使得背包内物品的总价值最大？
设决策变量 \(x_j\)取值0或1，表示是否选择该物品。则背包问题可以表示为下列整数规划：
$$ \begin{array}{c} \max _{x} \sum_{j=1}^{n} c_{j} x_{j} \\ \text { s.t. } \quad \sum_{j=1}^{n} a_{j} x_{j} \leq b \\ x \in\{0,1\}^{n} \end{array} $$
这类问题，决策变量通常是离散的。
整数规划大体可以分为以下几类。
- 线性整数规划（Integer Linear Programming）：目标函数为线性，约束为线性，决策变量只含有整数变量的整数规划问题。线性整数规划问题目前是整数规划问题中研究最多，也是算法相对比较成熟一点的领域。
- 0-1线性规划（Binary Linear Programming）：目标函数为线性，约束为线性，决策变量只含有0-1变量的整数规划问题。线性整数规划都可以转化为0-1线性规划问题。
- 混合整数线性规划（Mixed-integer Linear Programming）：目标函数为线性，约束为线性，决策变量既含有整数变量也含有连续变量的整数规划问题。
- 非线性整数规划（Nonlinear Integer Programming）：目标函数和约束中至少有一个是非线性的，决策变量只含有整数变量的整数规划问题。非线性整数规划的难度要比线性整数规划问题难很多。
- 0-1非线性规划（Nonlinear Binary Programming）：目标函数和约束中至少有一个是非线性的，决策变量只含有0-1变量的整数规划问题。
- Mixed-integer Nonlinear Programming （0-1非线性混合整数规划）：目标函数和约束中至少有一个是非线性的，决策变量既含有整数变量也含有连续变量的整数规划问题。
- Polynomial Binary Programming （0-1多项式规划）：目标函数和约束中都是多项式函数，决策变量只含有0-1变量的整数规划问题。
在工作中，为了快速解决，通常会利用trick将各类问题简化为前3类整数规划问题。
约束规划
约束规划指求解满足各项约束的可行解的问题。与线性规划、整数规划不同，约束规划更加关注可行解，没有明确的优化目标。当然，约束规划也可以求解最优化问题，未来会详细解读。
例如，后续章节中出现的员工排班问题，就是非常典型的约束规划问题。
应用模块
分配
分配问题即供需双方的匹配问题。特别的，最近几年O2O公司崛起，滴滴司机订单分配、外卖配送员订单分配等问题层出不穷，除了传统最优化的目标，时效性、高并发等性能要求更加被关注。
路径规划
路径规划是比较常见的运筹优化问题，滴滴、美团、京东、顺丰等几乎所有涉及物流的公司都会与路径规划有千丝万缕的联系。在ortools中，VRP模块提供了几乎全部的常用变种，例如，TSP、VRP、VRPTW、CVRP等。在前公司就曾经利用ortools的路径规划模块解决车辆调度与路径规划问题。
装箱
装箱问题在工业界应用场景不多，但是一个非常难的算法问题。后续会对比背包问题与装箱问题的异同。如果有机会，会尝试分享物流行业里面装箱问题的应用。
网络流
网络流问题，本质是将网络关系的先验知识利用起来的过程，通常，解决同样的问题，网络流算法比传统整数规划或线性规划算法效率更高。
调度
调度问题由来已久，不管是经典的车间调度问题、传统的护士排班问题，还是外卖员排班、便利蜂员工排班、配送员排班，都可以归类到调度的范畴。差异仅仅在于不同场景下，商业诉求不同，约束也就不同。
结语
本文简单介绍ortools各模块的内容，在后续文章中将详细介绍如何使用ortools各模块。
参考
1.https://developers.google.cn/...
2.图片参考自 https://zhuanlan.zhihu.com/p/...
3.部分理论描述参考自 https://zhuanlan.zhihu.com/p/...