迪杰斯特拉（Dijkstra)算法求最短路径

一.最短路径

• 从某顶点（源点）出发到另一顶点（目的地）的路径中，有一条各边（或弧）权值之和最小的路径称为最短路径
• 迪杰斯特拉算法：从单原点到其余各店的最短路径

二.基本思想

依最短路径的长度递增的次序求得各条路径。其中，从源点到顶点v的最短路径是所有最短路径中长度最短者

• 路径长度最短的最短路径的特点：
  在这条路上，必定只含一条弧，并且这条弧的权值最小（记为v0->v1)
• 下一条路径长度次短的最短路径的特点：
  或者是直接从源点到该点（只含一条弧）
  或者是从源点经过顶点v1，再到达该顶点（由两条弧组成）（v0->v1->v2)
• 再下一条路径长度次短的的最短路径的特点：
  或者是直接从源点到该点（只含一条弧）
  或者是从源点经过顶点v1，再到达该顶点(由两条弧）
  或者是从源点经过顶点v2，再到达该顶点（看v2的情况，第一种就两条弧，第二种就三条弧）
• 重复步骤

三.步骤图解

步骤：

S中存放的是已经求得的最短路径的终点的集合，v-s集合包含其他点

i代表第i条最短路径（及可能路径走法）

邻接矩阵表示弧上的权值

dist[i]值

若vi在S中，dist[i]表示源点到vi的最短路径长度
若vi在V-S中，dist[i]表示源点到vi的只包括S中的顶点为中间顶点的最短路径

1. 找路径长度最短的最短路径，首先看从0开始弧度为1的点，列出即为v0->v2,v0->v4,v0->v5.以及它们的权值（即表格第一列）在第一列中找出第一条最短路径是v0->v2权值为10，画上对号。那么此时v0到v2的最短路径就找到了，v2一行可以省略了
2. 继续以v2为顶点查找下一步可行路线，由邻接矩阵或者直接看图找，可得v0->v2->v3将此路线及它的权值与之前找到的最短路径（第一列剩下的路径）做比较，即从V-S中找出路径最短的顶点（即为v4），并将其加入到S中；接着，更新V-S中的顶点和顶点对应的路径（即第三步以v4为顶点查找）。
3. 以v4为顶点查找下一步，与上相同，从V-S中找出路径，相互比较，找出最小的（v3），并将其加入到S中；接着，更新V-S中的顶点和顶点对应的路径。
4. 重复步骤，最终完成，找出来每次的最短路径，将所有可以到达的点都包含在S中。

四.代码说明

    /*
 * Dijkstra最短路径。
 * 即，统计图(G)中"顶点vs"到其它各个顶点的最短路径。
 *
 * 参数说明：
 *        G -- 图
 *       vs -- 起始顶点(start vertex)。即计算"顶点vs"到其它顶点的最短路径。
 *     prev -- 前驱顶点数组。即，prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中，位于"顶点i"之前的那个顶点。
 *     dist -- 长度数组。即，dist[i]是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径的长度。
 */
void dijkstra(Graph G, int vs, int prev[], int dist[])
{
    int i,j,k;
    int min;
    int tmp;
    int flag[MAX];      // flag[i]=1表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取。
 
    // 初始化
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
    {
        flag[i] = 0;              // 顶点i的最短路径还没获取到。
        prev[i] = 0;              // 顶点i的前驱顶点为0。
        dist[i] = G.matrix[vs][i];// 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。
    }
 
    // 对"顶点vs"自身进行初始化
    flag[vs] = 1;
    dist[vs] = 0;
 
    // 遍历G.vexnum-1次；每次找出一个顶点的最短路径。
    for (i = 1; i < G.vexnum; i++)
    {
        // 寻找当前最小的路径；
        // 即，在未获取最短路径的顶点中，找到离vs最近的顶点(k)。
        min = INF;
        for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
        {
            if (flag[j]==0 && dist[j]<min)
            {
                min = dist[j];
                k = j;
            }
        }
        // 标记"顶点k"为已经获取到最短路径
        flag[k] = 1;
 
        // 修正当前最短路径和前驱顶点
        // 即，当已经"顶点k的最短路径"之后，更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。
        for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
        {
            tmp = (G.matrix[k][j]==INF ? INF : (min + G.matrix[k][j])); // 防止溢出
            if (flag[j] == 0 && (tmp  < dist[j]) )
            {
                dist[j] = tmp;
                prev[j] = k;
            }
        }
    }
 
    // 打印dijkstra最短路径的结果
    printf("dijkstra(%c): \n", G.vexs[vs]);
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
        printf("  shortest(%c, %c)=%d\n", G.vexs[vs], G.vexs[i], dist[i]);
}

参考文章
文章中附有迪杰斯特拉（Dijkstra)算法源码