快速排序：最好，最坏以及平均复杂度推导理解

算法简介：

快速排序使用分治法（Divide and conquer）策略来把一个序列（list）分为较小和较大的2个子序列，然后递归地排序两个子序列。

步骤为：

1. 挑选基准值：从数列中挑出一个元素，称为“基准”（pivot），
2. 分割：重新排序数列，所有比基准值小的元素摆放在基准前面，所有比基准值大的元素摆在基准后面（与基准值相等的数可以到任何一边）。在这个分割结束之后，对基准值的排序就已经完成，
3. 递归排序子序列：递归地将小于基准值元素的子序列和大于基准值元素的子序列排序。

递归到最底部的判断条件是数列的大小是零或一，此时该数列显然已经有序。

选取基准值有数种具体方法，此选取方法对排序的时间性能有决定性影响。

 

时间复杂度：

最好情形：

    数学归纳法推导：

1. T（n）≤ 2T（n/2） + n，T（1）= 0  
2. T（n）≤ 2（2T（n/4）+ n/2） +n = 4T（n/4）+ 2n  
3. T（n）≤ 4（2T（n/8）+ n/4） +2n = 8T（n/8）+ 3n  
4. T（n）< 8（2（T（n/16）+ n/8）+3n = 16T（n/16）+ 4n  
5. ……  
6. T（n）≤nT（1）+（log2n）×n= O(nlogn) 

    理解：

如下图，最优情况下，每次找到的参考轴把数据分成均匀的两半，最后应该是一个平衡二叉树状态；二叉树的层数（logn）即为递归需要进行的次数，并且每轮递归结束时，都将二叉树遍历了一遍（n）,所以最优的情况下，时间复杂度为O(nlogn)

                                                          

最坏情形：

       最坏情形下，为正序或逆序排列，二叉树画出来应该是一棵斜树，并且需要经过n-1次递归调用才能完成，且第i次划分需要经过n‐i次关键字的比较才能找到第i个记录，也就是枢轴的位置，所以：

                                                             

     最终的时间复杂度应该O(n2)

 

平均复杂度：

枢轴可以随机的在第k的位置（1≤k≤n）：

                   

 n-1是分割所使用的比较次数。因为基准值是相当均匀地落在排列好的数列次序之任何地方，总和就是所有可能分割的平均。

这个意思是，平均上快速排序比理想的比较次数，也就是最好情况下，只大约比较糟39%。这意味着，它比最坏情况较接近最好情况。这个快速的平均运行时间，是快速排序比其他排序算法有实际的优势之另一个原因。

 

 

空间复杂度

       空间的消耗主要是递归造成的栈空间使用，最好情况，递归树的深度为log2n，其空间复杂度也就为O(logn)，最坏情况，需要进行n‐1递归调用，其空间复杂度为O(n)，平均情况，空间复杂度也为O(logn)。

 

 

 

参考:

https://blog.csdn.net/weshjiness/article/details/8660583

https://zh.wikipedia.org/zh/%E5%BF%AB%E9%80%9F%E6%8E%92%E5%BA%8F