【LOJ#6718】九个太阳「弱」化版（循环卷积，任意模数NTT）

题面

给定 $n,K$ ，满足 $K$ 是 $2$ 的幂，求
$$\sum _{K|i,0\le i\le n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$$

对 $998244$$8$$53$ 取模。

$1\le n\le 10^{15},1\le K\le 2^{15}$ 。

题解

这题网上的题解好像很少。

LOJ 讨论区给出了常数非常大的单位根反演做法，但是正如 4 楼说的

不难发现这题答案就是 $(1+x{)}^n$ 进行长度 $K$ 的循环卷积的常数项。我们直接循环卷积加快速幂解决。

但是模数十分阴间，不可做 NTT 模数，于是又得使用任意模数NTT / MTT（那个一点五次方的万能卷积法不行，过不了）。

这次我终于学懂了，不用 __int128 了，

我们获得三个同余式子：
$$\{\begin{array}{ll}x\equiv c_1& \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1\\ x\equiv c_2& \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2\\ x\equiv c_3& \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_3\end{array}$$

我们先合并前两个得到 $x\equiv k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1{m}_2$ 。

我们令 $m_1^{\prime }$ 为 $m_1$ 取模 $m_2$ 的逆元， $m_2^{\prime }$ 为 $m_2$ 取模 $m_1$ 的逆元，

可以得到：$k=\left((c_1\cdot m_2^{\prime })\%m_1\cdot m_2+(c_2\cdot m_1^{\prime })\%m_2\cdot m_1\right)\%(m_1{m}_2)$ ，

这个过程是不会爆 $\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 的。

然后令 $x=t{m}_1{m}_2+k$ ，那么
$$\begin{gathered} t{m}_1{m}_2+k\equiv c_3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_3 \\ \Rightarrow t\equiv (c_3-k)(m_1{m}_2{)}^{-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_3 \end{gathered}$$

我们想知道 $t{m}_1{m}_2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1{m}_2{m}_3$ 的结果，只需要知道 $t\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_3$ 的结果就行了。计算 $t$ 的过程是不爆 $\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 的，也不需要龟速乘。

这时候我们只需要保证真实的 $x<m_1{m}_2{m}_3-m_1{m}_2$ ，那么计算 $t{m}_1{m}_2+k$ 得到的就是真实的 $x$ 对指定 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$ 的取模结果。

时间复杂度 $O(K\log K\log n)$ 。

CODE

#include
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#pragma GCC optimize(2)
using namespace std;
#define MAXN (1<<16|5)
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define ENDL putchar('\n')
#define DB double
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define FI first
#define SE second
#define PR pair<int,int>
#define UIN unsigned int
int xchar() {
	static const int maxn = 1000000;
	static char b[maxn];
	static int pos = 0,len = 0;
	if(pos == len) pos = 0,len = fread(b,1,maxn,stdin);
	if(pos == len) return -1;
	return b[pos ++];
}
// #define getchar() xchar()
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;int s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s<0)return -1;if(s=='-')f=-f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x = (x<<1) + (x<<3) + (s^48);s = getchar();}
	return f*x;
}
void putpos(LL x) {if(!x)return ;putpos(x/10);putchar((x%10)^48);}
void putnum(LL x) {
	if(!x) {putchar('0');return ;}
	if(x<0) putchar('-'),x = -x;
	return putpos(x);
}
void AIput(LL x,int c) {putnum(x);putchar(c);}

const int MOD = 998244853;
const int M1 = 1012924417,R1 = 5;
const int M2 = 1007681537,R2 = 3;
const int M3 = 1004535809,R3 = 3;
int n,m,s,o,k;
inline void MD(int &x) {if(x>=MOD)x-=MOD;}
int qkpow(int a,LL b) {
	int res = 1;
	while(b > 0) {
		if(b & 1) res = res *1ll* a % MOD;
		a = a *1ll* a % MOD; b >>= 1;
	}return res;
}
int qkpow(int a,int b,int MOD) {
	int res = 1;
	while(b > 0) {
		if(b & 1) res = res *1ll* a % MOD;
		a = a *1ll* a % MOD; b >>= 1;
	}return res;
}
int om,xm[MAXN<<2];
int rev[MAXN<<2];
void NTT(int *s,int n,int op,int MOD,int R) {
	for(int i = 1;i < n;i ++) {
		rev[i] = (rev[i>>1]>>1) | ((i&1) ? (n>>1):0);
		if(rev[i] < i) swap(s[i],s[rev[i]]);
	}
	om = qkpow(R,(MOD-1)/n,MOD); xm[0] = 1;
	if(op < 0) om = qkpow(om,MOD-2,MOD);
	for(int i = 1;i < n;i ++) xm[i] = xm[i-1] *1ll* om % MOD;
	for(int k = 2,t = n>>1;k <= n;k <<= 1,t >>= 1) {
		for(int j = 0;j < n;j += k) {
			for(int i = j,l = 0;i < j+(k>>1);i ++,l += t) {
				int A = s[i],B = s[i+(k>>1)];
				s[i] = (A + xm[l]*1ll*B) % MOD;
				s[i+(k>>1)] = (A +MOD- xm[l]*1ll*B%MOD) % MOD;
			}
		}
	}
	if(op < 0) {
		int invn = qkpow(n,MOD-2,MOD);
		for(int i = 0;i < n;i ++) s[i] = s[i]*1ll*invn % MOD;
	}return ;
}
int a[MAXN<<1],b[MAXN<<1],c[MAXN<<1];
int a_[MAXN<<1],b_[MAXN<<1];
void polymul(int *A,int *B,int le) {
	for(int i = 0;i < le;i ++) a_[i] = A[i],b_[i] = B[i];
	NTT(A,le,1,M1,R1); NTT(B,le,1,M1,R1);
	for(int i = 0;i < le;i ++) a[i] = A[i]*1ll*B[i] % M1;
	for(int i = 0;i < le;i ++) A[i] = a_[i],B[i] = b_[i];
	NTT(a,le,-1,M1,R1);
	NTT(A,le,1,M2,R2); NTT(B,le,1,M2,R2);
	for(int i = 0;i < le;i ++) b[i] = A[i]*1ll*B[i] % M2;
	for(int i = 0;i < le;i ++) A[i] = a_[i],B[i] = b_[i];
	NTT(b,le,-1,M2,R2);
	NTT(A,le,1,M3,R3); NTT(B,le,1,M3,R3);
	for(int i = 0;i < le;i ++) c[i] = A[i]*1ll*B[i] % M3;
	for(int i = 0;i < le;i ++) A[i] = a_[i],B[i] = b_[i];
	NTT(c,le,-1,M3,R3);
	int v1 = qkpow(M2,M1-2,M1);
	int v2 = qkpow(M1,M2-2,M2);
	int v3 = qkpow(M1*1ll*M2%M3,M3-2,M3);
	LL MD = M1*1ll*M2;
	for(int i = 0;i < le;i ++) {
		LL k = (v1*1ll*a[i]%M1*M2 + v2*1ll*b[i]%M2*M1) % MD;
		int t = (c[i]+M3-k%M3) % M3 *1ll* v3 % M3;
		A[i] = (MD % MOD * t % MOD + k) % MOD;
	}
	return ;
}
void polymuls(int *A,int le) {
	for(int i = 0;i < le;i ++) a_[i] = A[i];
	NTT(A,le,1,M1,R1);
	for(int i = 0;i < le;i ++) a[i] = A[i]*1ll*A[i] % M1;
	for(int i = 0;i < le;i ++) A[i] = a_[i];
	NTT(a,le,-1,M1,R1);
	NTT(A,le,1,M2,R2);
	for(int i = 0;i < le;i ++) b[i] = A[i]*1ll*A[i] % M2;
	for(int i = 0;i < le;i ++) A[i] = a_[i];
	NTT(b,le,-1,M2,R2);
	NTT(A,le,1,M3,R3);
	for(int i = 0;i < le;i ++) c[i] = A[i]*1ll*A[i] % M3;
	for(int i = 0;i < le;i ++) A[i] = a_[i];
	NTT(c,le,-1,M3,R3);
	int v1 = qkpow(M2,M1-2,M1);
	int v2 = qkpow(M1,M2-2,M2);
	int v3 = qkpow(M1*1ll*M2%M3,M3-2,M3);
	LL MD = M1*1ll*M2;
	for(int i = 0;i < le;i ++) {
		LL k = (v1*1ll*a[i]%M1*M2 + v2*1ll*b[i]%M2*M1) % MD;
		int t = (c[i]+M3-k%M3) % M3 *1ll* v3 % M3;
		A[i] = (MD % MOD * t % MOD + k) % MOD;
	}
	return ;
}
int A[MAXN],B[MAXN],C[MAXN];
int main() {
	LL N = read(); m = read();
	if(m == 1) {
		return AIput(qkpow(2,N),'\n'),0;
	}
	C[0] = 1; A[0] = 1; A[1] = 1;
	while(N > 0) {
		if(N & 1) {
			polymul(C,A,m);
		}
		for(int i = 0;i < m;i ++) B[i] = A[i];
		polymuls(A,m);
		N >>= 1;
	}
	AIput(C[0],'\n');
	return 0;
}