深度学习基础20（权重衰退以及代码实现详解）

权重衰减

下面来学习一些正则化模型的技术。

为什么要正则化？

• 我们可以通过去收集更多的训练数据来缓解过拟合。 但这可能成本很高，耗时颇多，或者完全超出我们的控制，因而在短期内不可能做到。 假设我们已经拥有尽可能多的高质量数据，便将重点放在正则化技术上。

实际上，限制特征的数量是缓解过拟合的一种常用技术。

但简单地丢弃特征对于这项工作来说可能过于生硬。 我们继续思考多项式回归的例子，考虑高维输入可能发生的情况。 多项式对多变量数据的自然扩展称为单项式（monomials）， 也可以说是变量幂的乘积。 单项式的阶数是幂的和。

注意，随着阶数的增长，带有阶数的项数迅速增加。

即使是阶数上的微小变化，比如从2到3， 也会显著增加我们模型的复杂性。

因此，我们经常需要一个更细粒度的工具来调整函数的复杂性。

范数与权重衰减

权重衰减是最广泛使用的正则化的技术之一

在训练参数化机器学习模型时， 权重衰减（weight decay）是最广泛使用的正则化的技术之一， 它通常也被称为2正则化。

这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度， 因为在所有函数中，函数=0（所有输入都得到值0） 在某种意义上是最简单的。

一种简单的方法是通过线性函数 ()=⊤ 中的权重向量的某个范数来度量其复杂性， 例如‖‖2。

要保证权重向量比较小， 最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。

将原来的训练目标最小化训练标签上的预测损失， 调整为最小化预测损失和惩罚项之和。

现在，如果我们的权重向量增长的太大， 我们的学习算法可能会更集中于最小化权重范数‖‖2。

回顾一下线性回归例子。 我们的损失由下式给出：

()是样本i的特征， ()是样本的标签， (,)是权重和偏置参数。

为了惩罚权重向量的大小， 我们必须以某种方式在损失函数中添加‖‖2， 但是模型应该如何平衡这个新的额外惩罚的损失？

实际上，我们通过正则化常数λ来描述这种权衡， 这是一个非负超参数，我们使用验证数据拟合：

对于=0，我们恢复了原来的损失函数。 对于>0，我们限制‖‖的大小。

这里我们仍然除以2：当我们取一个二次函数的导数时， 2和1/2会抵消，以确保更新表达式看起来既漂亮又简单。

为什么使用平方范数而不是标准范数（即欧几里得距离）？

• 这样做是为了便于计算。 通过平方2范数，我们去掉平方根，留下权重向量每个分量的平方和。 这使得惩罚的导数很容易计算：导数的和等于和的导数。

为什么我们首先使用2范数，而不是1范数。

• 事实上，这个选择在整个统计领域中都是有效的和受欢迎的。 2正则化线性模型构成经典的岭回归（ridge regression）算法， 1正则化线性回归是统计学中类似的基本模型， 通常被称为套索回归（lasso regression）。
• 使用2范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。 这使得学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。 在实践中，这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。
• 相比之下，1惩罚会导致模型将权重集中在一小部分特征上， 而将其他权重清除为零。 这称为特征选择（feature selection），这可能是其他场景下需要的。

2正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式：

我们根据估计值与观测值之间的差异来更新。 然而，我们同时也在试图将的大小缩小到零。

这就是为什么这种方法有时被称为权重衰减。 我们仅考虑惩罚项，优化算法在训练的每一步衰减权重。

与特征选择相比，权重衰减为我们提供了一种连续的机制来调整函数的复杂度。

较小的值对应较少约束的， 而较大的值对的约束更大。

是否对相应的偏置2进行惩罚在不同的实践中会有所不同， 在神经网络的不同层中也会有所不同。 通常，网络输出层的偏置项不会被正则化。

可以看出每次更新参数的时候都会把wt乘以一个小于1的数，所以叫权重衰退

• 权重衰退通过L2正则项使得模型参数不会过大，从而控制模型复杂度
• 正则项权重λ是控制模型复杂度的超参数

高维线性回归

我们通过一个简单的例子来演示权重衰减。

%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

首先，生成一些数据，生成公式如下：

(

）

我们选择标签是关于输入的线性函数。 标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。

为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到=200， 并使用一个只包含20个样本的小训练集。

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5#这里特别使训练数据集比较小，因为越小越容易过拟合，num_inputs是特征的维度200比较大
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05#w是0.01，b是0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)#下面是之前存的一些函数，比如如何生成人工数据集，怎么读取等等
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

从零开始实现

下面我们将从头开始实现权重衰减，只需将2的平方惩罚添加到原始目标函数中。

初始化模型参数

首先，定义一个函数来随机初始化模型参数。

def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)#对w进行初始化，均值为0，标准差为1，之前见过好多次
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]

定义2范数惩罚

实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。

def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2#这里没有写入λ，因为要把λ写在外面

定义训练代码实现

下面的代码将模型拟合训练数据集，并在测试数据集上进行评估

def train(lambd):#接受一个输入参数为λ
    w, b = init_params()#初始化权重，w，b
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss#用之前定义的线性回归，d2l.squared_loss使用平方损失函数
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])#动画一下我们的效果
    for epoch in range(num_epochs):#这就是很标准的训练，两次forloop
        for X, y in train_iter:
            # 增加了L2范数惩罚项，
            # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)#这是唯一的不一样
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

忽略正则化直接训练

我们现在用lambd = 0禁用权重衰减后运行这个代码。 注意，这里训练误差有了减少，但测试误差没有减少， 这意味着出现了严重的过拟合。

train(lambd=0)

w的L2范数是： 14.011414527893066

使用权重衰减

下面，我们使用权重衰减来运行代码。 注意，在这里训练误差增大，但测试误差减小。 这正是我们期望从正则化中得到的效果。

train(lambd=3)

w的L2范数是： 0.35732635855674744

简洁实现

由于权重衰减在神经网络优化中很常用， 深度学习框架为了便于我们使用权重衰减， 将权重衰减集成到优化算法中以便与任何损失函数结合使用。

此外，这种集成还有计算上的好处， 允许在不增加任何额外的计算开销的情况下向算法中添加权重衰减。

由于更新的权重衰减部分仅依赖于每个参数的当前值， 因此优化器必须至少接触每个参数一次。

下面在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数。

默认情况下，PyTorch同时衰减权重和偏移。 这里我们只为权重设置了weight_decay，所以偏置参数不会衰减。

def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    # 偏置参数没有衰减
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},#基本上所有的优化算法都会提供一个weight_decay（λ）
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1,
                         (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                          d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())

[这些图看起来和我们从零开始实现权重衰减时的图相同]。 然而，它们运行得更快，更容易实现。 对于更复杂的问题，这一好处将变得更加明显。

train_concise(0)

w的L2范数： 13.390196800231934

train_concise(3)

w的L2范数： 0.4199734032154083

小结

• 正则化是处理过拟合的常用方法：在训练集的损失函数中加入惩罚项，以降低学习到的模型的复杂度。
• 保持模型简单的一个特别的选择是使用2惩罚的权重衰减。这会导致学习算法更新步骤中的权重衰减。
• 权重衰减功能在深度学习框架的优化器中提供。
• 在同一训练代码实现中，不同的参数集可以有不同的更新行为。
• 一般来说，噪音越大，学到的w就越大