ArcFace/InsightFace(弧度)是伦敦帝国理工学院邓建康等在2018.01发表,在SphereFace基础上改进了对特征向量归一化和加性角度间隔,提高了类间可分性同时加强类内紧度和类间差异。
论文链接:ArcFace: Additive Angular Margin Loss for Deep Face Recognition
LFW上99.83%,YTF上98.02%
作为基于 softmax 改进的损失函数,arcface loss 的出现不是一簇而就的,在 arcface loss 之前有大量的前人的工作:
center loss,L-softmax loss,A-softmax loss,CosFace loss 等
公式:
L 1 = − 1 N ∑ i = 1 N l o g e W y i T x i + b y i ∑ j = 1 N W y i T x i + b y i L_{1} = - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} {log \frac{e^{W^{T}_{y_{i}} x_{i} + b_{y_{i}}}} {\sum_{j=1}^{N}{W^{T}_{y_{i}} x_{i} + b_{y_{i}}}}} L1=−N1i=1∑Nlog∑j=1NWyiTxi+byieWyiTxi+byi
论文:[ECCV 2016] A Discriminative Feature Learning Approach for Deep Face Recognition
ECCV 2016的这篇文章主要是提出了一个新的Loss:Center Loss,用以辅助Softmax Loss进行人脸的训练,主要目的是利用softmax loss来分开不同类别,利用center loss来压缩同一类别,最终获取discriminative features。
其原理是增加惩罚项,约束每一类向中心聚集
公式:
L 1 = − 1 N ∑ i = 1 N l o g e W y i T x i + b y i ∑ j = 1 N W y i T x i + b y i + λ 2 ∑ i = 1 N ∣ ∣ x i − c y i ∣ ∣ 2 L_{1} = - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} {log \frac{e^{W^{T}_{y_{i}} x_{i} + b_{y_{i}}}} {\sum_{j=1}^{N}{W^{T}_{y_{i}} x_{i} + b_{y_{i}}}}} + \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^{N} {\mid\mid x_{i} - cy_{i} \mid\mid ^{2}} L1=−N1i=1∑Nlog∑j=1NWyiTxi+byieWyiTxi+byi+2λi=1∑N∣∣xi−cyi∣∣2
其中: y i y_{i} yi 代表第 i 类的中心。 y i y_{i} yi的求解过程相对复杂。
在训练的初始, y i y_{i} yi由Xavier初始化,即刚开始并不指向类中心,然后每个iterator更新一次 y i y_{i} yi。
其更新方式类似于反向传播。
通过对 x i − c y i x_{i} - cy_{i} xi−cyi求导,得到下述表达式:
Δ c y i = ∑ i = 1 N δ ( y i = j ) ( c j − x i ) 1 + ∑ i = 1 N δ ( y i = j ) \Delta cy_{i} = \frac{\sum_{i=1}^{N} {\delta (y_{i=j})(c_{j} - x_{i}) } } {1 + \sum_{i=1} ^{N} {\delta(y_{i=j})} } Δcyi=1+∑i=1Nδ(yi=j)∑i=1Nδ(yi=j)(cj−xi)
按导数值 Δ c y i \Delta cy_{i} Δcyi随着训练逐渐逼近类中心点。
论文:Large-Margin Softmax Loss for Convolutional Neural Networks
假设只有两个类的情况下(方便分析,推广到多类别同样适用)
softmax:
L 1 = − 1 N ∑ i = 1 N l o g e W y i T x i + b y i ∑ j = 1 N W y i T x i + b y i L_{1} = - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} {log \frac{e^{W^{T}_{y_{i}} x_{i} + b_{y_{i}}}} {\sum_{j=1}^{N}{W^{T}_{y_{i}} x_{i} + b_{y_{i}}}}} L1=−N1i=1∑Nlog∑j=1NWyiTxi+byieWyiTxi+byi
由 softmax 的公式可知,当类别为二的时候,分类为1和2的概率p分别为 p 1 = e W 1 T x + b 1 p_{1} = e^{W^{T}_{1} x + b_{1}} p1=eW1Tx+b1 和 p 2 = e W 2 T x + b 2 p_{2} = e^{W^{T}_{2} x + b_{2}} p2=eW2Tx+b2,当p1 > p2 的时候判断为类1, 当p1 < p2时判断为类2 。因此判断边界为 p 1 = = p 2 p_{1} == p_{2} p1==p2, 即 W 1 T x + b 1 = W 2 T x + b 2 W^{T}_{1} x + b_{1} = W^{T}_{2} x + b_{2} W1Tx+b1=W2Tx+b2。因此其决策边界依赖于 W 和 b 两个矩阵。
L-softmax 引入参数W的归一化,并将偏置 b置为零。决策边界 W 1 T x + b 1 = W 2 T x + b 2 W^{T}_{1} x + b_{1} = W^{T}_{2} x + b_{2} W1Tx+b1=W2Tx+b2变为 ∥ x ∥ c o s ( θ 1 ) = ∥ x ∥ c o s ( θ 2 ) \lVert x \rVert cos(\theta_{1}) = \lVert x \rVert cos(\theta_{2}) ∥x∥cos(θ1)=∥x∥cos(θ2) ,softmax的边界 ∥ W 1 T ∥ ∥ x ∥ c o s ( θ 1 ) = ∥ W 2 T ∥ ∥ x ∥ c o s ( θ 2 ) \lVert W^{T}_{1}\rVert \lVert x \rVert cos(\theta_{1}) = \lVert W^{T}_{2} \rVert \lVert x \rVert cos(\theta_{2}) ∥W1T∥∥x∥cos(θ1)=∥W2T∥∥x∥cos(θ2)既依赖于权重向量的大小,又依赖于角度的余弦值,从而导致余弦空间中的决策区域重叠(重叠就是margin < 0)。因此,L-softmax仅以角度(angular) 作为决策边界优于原softmax依赖于 W 和 θ \theta θ判断边界。
注: θ \theta θ代表 W W W和 x x x的夹角
L-softmax:
L 1 = − 1 N ∑ i = 1 N l o g e ∥ x i ∥ c o s ( m θ y i , i ) e ∥ x i ∥ c o s ( m θ y i , i ) + ∑ i ≠ j e ∥ x i ∥ c o s ( θ i , j ) L_{1} = - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} {log \frac{e^{\lVert x_{i} \rVert cos(m \theta_{y_{i,i}})} } {e^{\lVert x_{i} \rVert cos(m \theta_{y_{i,i}} ) }+\sum_{i \neq j}^{}{ e^{ \lVert x_{i} \rVert cos( \theta_{i,j})} }}} L1=−N1i=1∑Nloge∥xi∥cos(mθyi,i)+∑i=je∥xi∥cos(θi,j)e∥xi∥cos(mθyi,i)
引入 c o s ( m θ y i , i ) cos(m \theta_{y_{i,i}}) cos(mθyi,i) 参数m作为角边距来调参控制训练的类间距。
注:论文中并没有归一化W矩阵,这里是为了简化计算。真正开始归一化矩阵W的是下一节的A-softmax。
L-softmax 和 softmax:
左边第一个是softmax,右边三个是取m不同的L-softmax。
在L-softmax loss (large margin softmax loss)的基础上再添加限制条件||W||=1(权重归一化)和b=0就会使得预测仅取决于W和x之间的角度θ,这样便得到了angular softmax loss,简称A-softmax loss。上述L-softmax中,为了简化推理,已经使用了||W||=1(权重归一化)和b=0的假设。实际上,原论文并没有这样做。
原L-softmax的公式:
L 1 = − 1 N ∑ i = 1 N l o g e ∥ W i ∥ ∥ x i ∥ c o s ( m θ y i , i ) + b i e ∥ W i ∥ ∥ x i ∥ c o s ( m θ y i , i ) + b i + ∑ i ≠ j e ∥ W i ∥ ∥ x i ∥ c o s ( θ i , j ) + b i L_{1} = - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} {log \frac{e^{\lVert W_{i} \rVert \lVert x_{i} \rVert cos(m \theta_{y_{i,i}}) + b_{i}} } {e^{\lVert W_{i} \rVert \lVert x_{i} \rVert cos(m \theta_{y_{i,i}} ) + b_{i}}+\sum_{i \neq j}^{}{ e^{\lVert W_{i} \rVert \lVert x_{i} \rVert cos( \theta_{i,j}) + b_{i}} }}} L1=−N1i=1∑Nloge∥Wi∥∥xi∥cos(mθyi,i)+bi+∑i=je∥Wi∥∥xi∥cos(θi,j)+bie∥Wi∥∥xi∥cos(mθyi,i)+bi
A-softmax的公式(添加W归一化,b=0 的L-softmax):
L 1 = − 1 N ∑ i = 1 N l o g e ∥ x i ∥ c o s ( m θ y i , i ) e ∥ x i ∥ c o s ( m θ y i , i ) + ∑ i ≠ j e ∥ x i ∥ c o s ( θ i , j ) L_{1} = - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} {log \frac{e^{\lVert x_{i} \rVert cos(m \theta_{y_{i,i}})} } {e^{\lVert x_{i} \rVert cos(m \theta_{y_{i,i}} ) }+\sum_{i \neq j}^{}{ e^{ \lVert x_{i} \rVert cos( \theta_{i,j})} }}} L1=−N1i=1∑Nloge∥xi∥cos(mθyi,i)+∑i=je∥xi∥cos(θi,j)e∥xi∥cos(mθyi,i)
因此,cosface loss改进了A-sofamax,W权重L2归一化,x输入向量归一化到一个固定值s,让cos(θ)加上m。对cosface来说,s需要足够大。
公式:
c o s ( m θ ) ⇒ c o s ( θ ) + m x = s ⋅ x ∗ ∥ x ∗ ∥ ⇒ ∥ x ∥ = s cos(m\theta) \Rightarrow cos(\theta) + m \\\\ x = s \cdot \frac{x^{*}}{\lVert x_{*} \rVert} \\\\ \Rightarrow \lVert x \rVert = s cos(mθ)⇒cos(θ)+mx=s⋅∥x∗∥x∗⇒∥x∥=s
推导出新的损失函数
L 1 = − 1 N ∑ i = 1 N l o g e s ( c o s ( θ y i , i ) − m ) e s ( c o s ( θ y i , i ) − m ) + ∑ i ≠ j e ∥ x i ∥ c o s ( θ i , j ) L_{1} = - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} {log \frac{e^{s (cos(\theta_{y_{i,i}}) - m)} } {e^{s (cos(\theta_{y_{i,i}} ) - m) }+\sum_{i \neq j}^{}{ e^{ \lVert x_{i} \rVert cos( \theta_{i,j})} }}} L1=−N1i=1∑Nloges(cos(θyi,i)−m)+∑i=je∥xi∥cos(θi,j)es(cos(θyi,i)−m)
决策边界 c o s ( θ 1 ) − m = c o s ( θ 2 ) cos(\theta_{1}) - m = cos(\theta_{2}) cos(θ1)−m=cos(θ2),距离margin由m调节。
在 x x x和 W i W_{i} Wi之间的θ上加上角度间隔m(注意是加在了角θ上),以加法的方式惩罚深度特征与其相应权重之间的角度,从而同时增强了类内紧度和类间差异。
比如训练时降到某一固定损失值时,有Margin和无Margin的e指数项是相等的,则有Margin的 θ i \theta_{i} θi就需要相对的减少了。这样来看有 Margin的训练就会把 i 类别的输入特征和权重间的夹角 θ i \theta_{i} θi缩小了,从一些角度的示图中可以看出,Margin把 θ i \theta_{i} θi挤得更类内聚合了, θ i \theta_{i} θi和其他 θ \theta θ类间也就更分离了。
公式:
L 1 = − 1 N ∑ i = 1 N l o g e s ( c o s ( θ y i , i + m ) ) e s ( c o s ( θ y i , i + m ) ) + ∑ i ≠ j e ∥ x i ∥ c o s ( θ i , j ) L_{1} = - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} {log \frac{e^{s (cos(\theta_{y_{i,i}} + m) )} } {e^{s (cos(\theta_{y_{i,i}} + m) ) }+\sum_{i \neq j}^{}{ e^{ \lVert x_{i} \rVert cos( \theta_{i,j})} }}} L1=−N1i=1∑Nloges(cos(θyi,i+m))+∑i=je∥xi∥cos(θi,j)es(cos(θyi,i+m))
决策边界:
c o s ( θ 1 + m ) = c o s ( θ 2 ) cos(\theta_{1} + m) = cos(\theta_{2}) cos(θ1+m)=cos(θ2)
决策边界:
ArcFace:Additive Angular Margin,加法角度间隔
SphereFace(A-softmax):Multiplicative Angular Margin,乘法角度间隔
CosFace:Additive Cosine margin,加法余弦间隔