二叉树基础（下）：有了如此高效的散列表，为什么还需要二叉树

------ 本文是学习算法的笔记，《数据结构与算法之美》，极客时间的课程 ------

上一节学习的树、二叉树以及二叉树的遍历，今天我们再来学习一种特殊的二叉树——二叉查找树。它的最大特点是支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作。

我们之前说过，散列表也支持这些操作，并且散列表的这些操作比二叉查找树更高效，时间复杂度是O(1)。既然有了这么高效的散列表，使用二叉树的地方是不是都可以替换成散列表呢？有没有哪些地方是散列表做不了，必须要用二叉树来做的呢？

带着这些问题，我们来学习今天的内容。

二叉查找树（Binary Search Tree）

二叉查找树也叫二叉搜索树，是为了实现快速查找而生的。不过，它不仅仅支持快速查找一个数据，还支持快速插入、删除一个数据。这是怎么做到这些的呢？

这些都依赖于二叉查找树的特殊结构。二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子节点的 值都大于这个节点的值，如下图所示。
1、二叉查找树的查找操作

首先，我们看如何在二叉查找树中查找一个节点，如果它等于它们要查找的数据，那就返回。如果要查找的比根节点小，那就在左子树中递归查找；如果要查找的数据比要节点的值大，那就在右子树中递归查找。代码如下：

public class BinarySearchTree{
    public static class Node{
    	private int data;
    	private Node left;
    	private Node right;
    	
    	public Node(int data) {
    		this.data = data;
    	}
    }
    private Node tree;
    public Node find(int data) {
    	Node p = tree;
    	while( p != null) {
    		if(data < p.data) {
    			p = p.left;
    		}else if(data > p.data){
    			p = p.right;
    		}else {
    			return p;
    		}
    	}
    	return null;
    }
}

2、二叉查找树的插入操作
二叉查找树的插入过程有点类似查找操作。新插入的数据一般是在叶子节点上，所以我们只需要从要节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。

如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插入到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。代码如下

    public void insert(int data) {
    	if(tree == null) {
    		tree = new Node(data);
    		return;
    	}
    	
    	Node p = tree;
    	while(p != null) {
    		if(data > p.data) {
    			if(p.right == null) {
    				p.right = new Node(data);
    				return;
    			}
    			p = p.right;
    		}else {
    			if(p.left == null) {
    				p.left = new Node(data);
    				return;
    			}
    			p = p.left;
    		}
    	}
    }

3、二叉查找树的删除操作
二叉查找树的查找，插入操作都比较简单易懂，但是它的删除操作比较复杂，针对删除节点的子节点个数不同，我们需要分三种情况来处理。

第一种情况，如果要删除的节点没有子节点，我们只需要直接将父节点中，，指向要删除节点的指针置为null。比如图中删除节点55。

第二种情况，如果要删除节点只有一个子节点（只有左子节点或只有右子节点），我们只需要将父节点中，指向删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图片删除节点13。

第三种情况，如果要删除节点有两个子节点，这就比较复杂了。我们需要找到这个节点的右中最小节点，把它替换要删除的节点。然后再删除掉这个最小的节点，因为最小节点肯定没有左子树。比如删除图中节点18。代码如下：

    public void delete(int data) {
    	Node p = tree; // p 指向要删除的节点，初始化指向根节点
    	Node pp = null; //pp 记录的是p的父节点
    	while( p != null && p.data != data) {
    		pp = p;
    		if(data > p.data) {
    			p = p.right;
    		}else {
    			p = p.left;
    		}
    	}
    	if(p == null) { // 没有找到
    		return;
    	}
    	// 要删除的节点有两个子节点
    	if(p.left != null && p.right !=null) { // 查找右树中最小节点
    		Node minP = p.right;
    		Node minPP = p; // minPP表示minP的父节点
    		while(minP.left != null) {
    			minPP = minP;
    			minP = minP.left;
    		}
    		p.data = minP.data; // 将minP的数据替换到p 中
    		p = minP; // 下面就变成了删除minP了
    		pp = minPP;
    	}
    	// 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点
    	Node child; // p的子节点
    	if(p.left != null) {
    		child = p.left;
    	}else if(p.right != null){
    		child = p.right;
    	}else {
    		child = null;
    	}
    	if(pp == null) {
    		tree = child;
    	}else if(pp.left == p){
    		pp.left = child;
    	}else {
    		pp.right = child;
    	}
    }

实际上，关于二叉查找树的删除操作，还有个非常简单、取巧的方法，就是单纯将要删除的节点标记为“已删除”，但是并不真正从树中去掉。这样原本删除的节点还需要存储在内存中，比较浪费空间，但是删除操作就变得简单了很多。而且，这种处理方法并没有增加插入、查找操作代码实现的难度。

4、二叉查找树的其他操作
除了插入、删除、查找操作之外，二叉查找树中还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。还有一个重要的特性，就是中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，时间复杂度是O(n)，非常高效。因此，二叉查找树也叫作二叉排序树。

支持重复数据的二叉查找树
前面讲二叉树的时候，我们默认树中的节点存储的都是数字。很多时候，在实际的软件开发中，我们在二叉查找树中存储的，是一个包含多个字段的对象。我们利用对象的某个字段作为键值来构建二叉查找树。我们把对象中的其他字段叫作卫星数据。

前面我们讲二叉查找树的操作，针对的都是不存在键值相同的情况。那如果存储的两个对象键值相同，这种情况该怎么处理呢？我这里有两种解决方法。

第一种方法比较容易。二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据，因此我们通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据存储在同一个节点上。

第二种方法比较不好理解，不过更加优雅。

每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中，如果碰到一个节点的值，与要插入的值相同，我们就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树，也就是说，，把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。

当要查找数据的时候，遇到值相同的节点，我们并不停止查找操作，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。

基于删除操作，我们也需要先查到每个要删除的节点，然后再按前面讲的删除操作方法，依次删除。

二叉查找树的时间复杂度分析
现在，来分析下，二叉查找树的插入、删除、查找操作的时间复杂度。

实际上，二叉查找树的形态各式各样。比如这个图中，对于同一组数据，我们构造了三种二叉查找树。它们的查找、插入、删除操作的执行效率都是不一样的。图中第一种二叉查找树，根节点的左右子树极度不平衡，已经退化成了链表，所以查找的时间复杂度就成了O(n)。

如果是最理想的情况，完全二叉树（或是满二叉树）。这个时候，插入、删除、查找的时间复杂度是多少呢？从前面的袋子、图、以及代码来看，其操作复杂度都跟树的高度成正比，也就是O(hgight)。既然这样，现在问题就转变成另外一个问题，如何求一棵包含n个节点的完全二叉树的高度？

先计算理想的满二叉对，相邻两层之间正好是两倍的关系。当有n个节点时，就是
n = 1+2+4+8+……+2^(L-1) 这也就是等比数列，可得L就是以2为底的n+1的对数。即时间复杂度为O(longn)。同理也可以计算出，完全二叉树的层数，是大于以2为底n+1的对数，但小于以2为底的n+2的对数，即时间复杂度是O(logn)。

显然，极度不平衡的二叉树，它的查找性能肯定不能满足我们的需求。我们需要构建一种不管怎么删除，插入数据，在任何时候，都能保持任意节点左右子树都比较平衡的二叉树，这就是我们下一节要讲的一种特殊二叉树——平衡二叉树。

解答开篇

有了散列表，为什么还会有二叉树的存在。

第一、散列表是中数据是无序的，如果要输出有序的数据，需要先进行排序。而对于二叉树来说，我们只需要中序遍历，就可以在O(n)的时间复杂度内，输出有序的数据序列。

第二、散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突的时候，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能不稳定，但在工作中，我们最常用的平衡二叉树查找树的性能叛党稳定，时间复杂度稳定在O(logn)。

第三，笼统来说，尽管散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的，但因为哈希冲突的存在，这个常量不一定比logn小，所以实际的查找速度可能不一定比O(logn)快。加上哈希函数耗时，也不一定比平衡二叉查找对的效率高。

第四，散列表的构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。

最后，为了避免过多的散列冲突，散列表装载因子不能太大，特别是基于开放寻址法解决的散列表，不然会浪费一定的存储空间。

综合这几点，平衡二叉查找权在某些方面还是优于散列表的，所以，这两者的存在并不冲突。我们在实际的开发中，需要结合具体的需求来选择使用哪一个。