二叉树基础(下):有了如此高效的散列表,为什么还需要二叉树

------ 本文是学习算法的笔记,《数据结构与算法之美》,极客时间的课程 ------

上一节学习的树、二叉树以及二叉树的遍历,今天我们再来学习一种特殊的二叉树——二叉查找树。它的最大特点是支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作。

我们之前说过,散列表也支持这些操作,并且散列表的这些操作比二叉查找树更高效,时间复杂度是O(1)。既然有了这么高效的散列表,使用二叉树的地方是不是都可以替换成散列表呢?有没有哪些地方是散列表做不了,必须要用二叉树来做的呢?

带着这些问题,我们来学习今天的内容。

二叉查找树(Binary Search Tree)

二叉查找树也叫二叉搜索树,是为了实现快速查找而生的。不过,它不仅仅支持快速查找一个数据,还支持快速插入、删除一个数据。这是怎么做到这些的呢?

这些都依赖于二叉查找树的特殊结构。二叉查找树要求,在树中的任意一个节点,其左子树的每个节点的值,都要小于这个节点的值,而右子节点的 值都大于这个节点的值,如下图所示。二叉树基础(下):有了如此高效的散列表,为什么还需要二叉树_第1张图片
1、二叉查找树的查找操作

首先,我们看如何在二叉查找树中查找一个节点,如果它等于它们要查找的数据,那就返回。如果要查找的比根节点小,那就在左子树中递归查找;如果要查找的数据比要节点的值大,那就在右子树中递归查找。代码如下:二叉树基础(下):有了如此高效的散列表,为什么还需要二叉树_第2张图片

public class BinarySearchTree{
    public static class Node{
    	private int data;
    	private Node left;
    	private Node right;
    	
    	public Node(int data) {
    		this.data = data;
    	}
    }
    private Node tree;
    public Node find(int data) {
    	Node p = tree;
    	while( p != null) {
    		if(data < p.data) {
    			p = p.left;
    		}else if(data > p.data){
    			p = p.right;
    		}else {
    			return p;
    		}
    	}
    	return null;
    }
}

2、二叉查找树的插入操作
二叉查找树的插入过程有点类似查找操作。新插入的数据一般是在叶子节点上,所以我们只需要从要节点开始,依次比较要插入的数据和节点的大小关系。

如果要插入的数据比节点的数据大,并且节点的右子树为空,就将新数据直接插入到右子节点的位置;如果不为空,就再递归遍历右子树,查找插入位置。同理,如果要插入的数据比节点数值小,并且节点的左子树为空,就将新数据插入到左子节点的位置;如果不为空,就再递归遍历左子树,查找插入位置。代码如下二叉树基础(下):有了如此高效的散列表,为什么还需要二叉树_第3张图片

    public void insert(int data) {
    	if(tree == null) {
    		tree = new Node(data);
    		return;
    	}
    	
    	Node p = tree;
    	while(p != null) {
    		if(data > p.data) {
    			if(p.right == null) {
    				p.right = new Node(data);
    				return;
    			}
    			p = p.right;
    		}else {
    			if(p.left == null) {
    				p.left = new Node(data);
    				return;
    			}
    			p = p.left;
    		}
    	}
    }

3、二叉查找树的删除操作
二叉查找树的查找,插入操作都比较简单易懂,但是它的删除操作比较复杂,针对删除节点的子节点个数不同,我们需要分三种情况来处理。

第一种情况,如果要删除的节点没有子节点,我们只需要直接将父节点中,,指向要删除节点的指针置为null。比如图中删除节点55。

第二种情况,如果要删除节点只有一个子节点(只有左子节点或只有右子节点),我们只需要将父节点中,指向删除节点的指针,让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图片删除节点13。

第三种情况,如果要删除节点有两个子节点,这就比较复杂了。我们需要找到这个节点的右中最小节点,把它替换要删除的节点。然后再删除掉这个最小的节点,因为最小节点肯定没有左子树。比如删除图中节点18。代码如下:二叉树基础(下):有了如此高效的散列表,为什么还需要二叉树_第4张图片

    public void delete(int data) {
    	Node p = tree; // p 指向要删除的节点,初始化指向根节点
    	Node pp = null; //pp 记录的是p的父节点
    	while( p != null && p.data != data) {
    		pp = p;
    		if(data > p.data) {
    			p = p.right;
    		}else {
    			p = p.left;
    		}
    	}
    	if(p == null) { // 没有找到
    		return;
    	}
    	// 要删除的节点有两个子节点
    	if(p.left != null && p.right !=null) { // 查找右树中最小节点
    		Node minP = p.right;
    		Node minPP = p; // minPP表示minP的父节点
    		while(minP.left != null) {
    			minPP = minP;
    			minP = minP.left;
    		}
    		p.data = minP.data; // 将minP的数据替换到p 中
    		p = minP; // 下面就变成了删除minP了
    		pp = minPP;
    	}
    	// 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点
    	Node child; // p的子节点
    	if(p.left != null) {
    		child = p.left;
    	}else if(p.right != null){
    		child = p.right;
    	}else {
    		child = null;
    	}
    	if(pp == null) {
    		tree = child;
    	}else if(pp.left == p){
    		pp.left = child;
    	}else {
    		pp.right = child;
    	}
    }

实际上,关于二叉查找树的删除操作,还有个非常简单、取巧的方法,就是单纯将要删除的节点标记为“已删除”,但是并不真正从树中去掉。这样原本删除的节点还需要存储在内存中,比较浪费空间,但是删除操作就变得简单了很多。而且,这种处理方法并没有增加插入、查找操作代码实现的难度。

4、二叉查找树的其他操作
除了插入、删除、查找操作之外,二叉查找树中还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。还有一个重要的特性,就是中序遍历二叉查找树,可以输出有序的数据序列,时间复杂度是O(n),非常高效。因此,二叉查找树也叫作二叉排序树。

支持重复数据的二叉查找树
前面讲二叉树的时候,我们默认树中的节点存储的都是数字。很多时候,在实际的软件开发中,我们在二叉查找树中存储的,是一个包含多个字段的对象。我们利用对象的某个字段作为键值来构建二叉查找树。我们把对象中的其他字段叫作卫星数据。

前面我们讲二叉查找树的操作,针对的都是不存在键值相同的情况。那如果存储的两个对象键值相同,这种情况该怎么处理呢?我这里有两种解决方法。

第一种方法比较容易。二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据,因此我们通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构,把值相同的数据存储在同一个节点上。

第二种方法比较不好理解,不过更加优雅。

每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中,如果碰到一个节点的值,与要插入的值相同,我们就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树,也就是说,,把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。二叉树基础(下):有了如此高效的散列表,为什么还需要二叉树_第5张图片

当要查找数据的时候,遇到值相同的节点,我们并不停止查找操作,而是继续在右子树中查找,直到遇到叶子节点,才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。二叉树基础(下):有了如此高效的散列表,为什么还需要二叉树_第6张图片

基于删除操作,我们也需要先查到每个要删除的节点,然后再按前面讲的删除操作方法,依次删除。二叉树基础(下):有了如此高效的散列表,为什么还需要二叉树_第7张图片

二叉查找树的时间复杂度分析
现在,来分析下,二叉查找树的插入、删除、查找操作的时间复杂度。

实际上,二叉查找树的形态各式各样。比如这个图中,对于同一组数据,我们构造了三种二叉查找树。它们的查找、插入、删除操作的执行效率都是不一样的。图中第一种二叉查找树,根节点的左右子树极度不平衡,已经退化成了链表,所以查找的时间复杂度就成了O(n)。二叉树基础(下):有了如此高效的散列表,为什么还需要二叉树_第8张图片

如果是最理想的情况,完全二叉树(或是满二叉树)。这个时候,插入、删除、查找的时间复杂度是多少呢?从前面的袋子、图、以及代码来看,其操作复杂度都跟树的高度成正比,也就是O(hgight)。既然这样,现在问题就转变成另外一个问题,如何求一棵包含n个节点的完全二叉树的高度?

先计算理想的满二叉对,相邻两层之间正好是两倍的关系。当有n个节点时,就是
n = 1+2+4+8+……+2^(L-1) 这也就是等比数列,可得L就是以2为底的n+1的对数。即时间复杂度为O(longn)。同理也可以计算出,完全二叉树的层数,是大于以2为底n+1的对数,但小于以2为底的n+2的对数,即时间复杂度是O(logn)。

显然,极度不平衡的二叉树,它的查找性能肯定不能满足我们的需求。我们需要构建一种不管怎么删除,插入数据,在任何时候,都能保持任意节点左右子树都比较平衡的二叉树,这就是我们下一节要讲的一种特殊二叉树——平衡二叉树。

解答开篇

有了散列表,为什么还会有二叉树的存在。

第一、散列表是中数据是无序的,如果要输出有序的数据,需要先进行排序。而对于二叉树来说,我们只需要中序遍历,就可以在O(n)的时间复杂度内,输出有序的数据序列。

第二、散列表扩容耗时很多,而且当遇到散列冲突的时候,性能不稳定,尽管二叉查找树的性能不稳定,但在工作中,我们最常用的平衡二叉树查找树的性能叛党稳定,时间复杂度稳定在O(logn)。

第三,笼统来说,尽管散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的,但因为哈希冲突的存在,这个常量不一定比logn小,所以实际的查找速度可能不一定比O(logn)快。加上哈希函数耗时,也不一定比平衡二叉查找对的效率高。

第四,散列表的构造比二叉查找树要复杂,需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题,而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。

最后,为了避免过多的散列冲突,散列表装载因子不能太大,特别是基于开放寻址法解决的散列表,不然会浪费一定的存储空间。

综合这几点,平衡二叉查找权在某些方面还是优于散列表的,所以,这两者的存在并不冲突。我们在实际的开发中,需要结合具体的需求来选择使用哪一个。

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