题目描述
这是 LeetCode 上的 剑指 Offer II 115. 重建序列 ，难度为 中等。
Tag : 「图论」、「拓扑排序」、「建图」、「图论 BFS」
给定一个长度为 n 的整数数组 nums ，其中 nums 是范围为 $[1，n]$ 的整数的排列。还提供了一个 2D 整数数组 sequences，其中 sequences[i] 是 nums 的子序列。
检查 nums 是否是唯一的最短 超序列 。最短 超序列 是 长度最短 的序列，并且所有序列 sequences[i] 都是它的子序列。对于给定的数组 sequences，可能存在多个有效的 超序列 。
- 例如，对于
sequences = [[1,2],[1,3]]，有两个最短的 超序列，[1,2,3]和[1,3,2]。 - 而对于
sequences = [[1,2],[1,3],[1,2,3]]，唯一可能的最短 超序列 是[1,2,3]。[1,2,3,4]是可能的超序列，但不是最短的。
如果 nums 是序列的唯一最短 超序列 ，则返回 true ，否则返回 false 。
子序列 是一个可以通过从另一个序列中删除一些元素或不删除任何元素，而不改变其余元素的顺序的序列。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3], sequences = [[1,2],[1,3]]
输出：false
解释：有两种可能的超序列：[1,2,3]和[1,3,2]。
序列 [1,2] 是[1,2,3]和[1,3,2]的子序列。
序列 [1,3] 是[1,2,3]和[1,3,2]的子序列。
因为 nums 不是唯一最短的超序列，所以返回false。示例 2：
输入：nums = [1,2,3], sequences = [[1,2]]
输出：false
解释：最短可能的超序列为 [1,2]。
序列 [1,2] 是它的子序列：[1,2]。
因为 nums 不是最短的超序列，所以返回false。示例 3：
输入：nums = [1,2,3], sequences = [[1,2],[1,3],[2,3]]
输出：true
解释：最短可能的超序列为[1,2,3]。
序列 [1,2] 是它的一个子序列：[1,2,3]。
序列 [1,3] 是它的一个子序列：[1,2,3]。
序列 [2,3] 是它的一个子序列：[1,2,3]。
因为 nums 是唯一最短的超序列，所以返回true。提示：
- $n == nums.length$
- $1 <= n <= 104$
nums是 $[1, n]$ 范围内所有整数的排列- $1 <= sequences.length <= 10^4$
- $1 <= sequences[i].length <= 104$
- $1 <= sum(sequences[i].length) <= 10^5$
- $1 <= sequences[i][j] <= n$
sequences的所有数组都是 唯一 的sequences[i]是nums的一个子序列
拓扑排序 + 构造
为了方便，我们令 sequences 为 ss。
根据题意，如果我们能够利用所有的 $ss[i]$ 构造出一个唯一的序列，且该序列与 nums 相同，则返回 True，否则返回 False。
将每个 $ss[i]$ 看做对 $ss[i]$ 所包含点的前后关系约束，我们可以将问题转换为拓扑排序问题。
利用所有 $ss[i]$ 构造新图：对于 $ss[i] = [A_1, A_2, ..., A_k]$，我们将其转换为点 $A_1$ -> $A_2$ -> ... -> $A_k$ 的有向图，同时统计每个点的入度情况。
然后在新图上跑一遍拓扑排序，构造对应的拓扑序列，与 nums 进行对比。
实现上，由于拓扑排序过程中，出点的顺序即为拓扑序，因此我们并不需要完整保存整个拓扑序，只需使用一个变量 loc 来记录当前拓扑序的下标，将出点 $t$ 与 $nums[loc]$ 做比较即可。
在拓扑序过程中若有 $t$ 不等于 $nums[loc]$（构造出来的方案与 nums 不同） 或某次拓展过程中发现队列元素不止 $1$ 个（此时可能的原因有 :「起始入度为 $0$ 的点不止一个或存在某些点根本不在 $ss$ 中」或「单次拓展新产生的入度为 $0$ 的点不止一个，即拓扑序不唯一」），则直接返回 False，
Java 代码：
class Solution {
int N = 10010, M = N, idx;
int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M], in = new int[N];
void add(int a, int b) {
e[idx] = b;
ne[idx] = he[a];
he[a] = idx++;
in[b]++;
}
public boolean sequenceReconstruction(int[] nums, int[][] ss) {
int n = nums.length;
Arrays.fill(he, -1);
for (int[] s : ss) {
for (int i = 1; i < s.length; i++) add(s[i - 1], s[i]);
}
Deque d = new ArrayDeque<>();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (in[i] == 0) d.addLast(i);
}
int loc = 0;
while (!d.isEmpty()) {
if (d.size() != 1) return false;
int t = d.pollFirst();
if (nums[loc++] != t) return false;
for (int i = he[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (--in[j] == 0) d.addLast(j);
}
}
return true;
}
} TypeScript 代码：
const N = 10010, M = N
const he: number[] = new Array(N).fill(-1), e = new Array(N).fill(0), ne = new Array(N).fill(0), ind = new Array(N).fill(0);
let idx = 0
function add(a: number, b: number): void {
e[idx] = b
ne[idx] = he[a]
he[a] = idx++
ind[b]++
}
function sequenceReconstruction(nums: number[], ss: number[][]): boolean {
he.fill(-1); ind.fill(0)
idx = 0
const n = nums.length
for (const s of ss) {
for (let i = 1; i < s.length; i++) add(s[i - 1], s[i])
}
const stk: number[] = new Array()
let head = 0, tail = 0
for (let i = 1; i <= n; i++) {
if (ind[i] == 0) stk[tail++] = i
}
let loc = 0
while (head < tail) {
if (tail - head > 1) return false
const t = stk[head++]
if (nums[loc++] != t) return false
for (let i = he[t]; i != -1; i = ne[i]) {
const j = e[i]
if (--ind[j] == 0) stk[tail++] = j
}
}
return true
}; - 时间复杂度：建图复杂度为 $O(\sum_{i = 0}^{n - 1}ss[i].length)$；跑拓扑排序的复杂度为 $O(n + \sum_{i = 0}^{n - 1}ss[i].length)$。整体复杂度为 $O(n + \sum_{i = 0}^{n - 1}ss[i].length)$
- 空间复杂度： $O(n + \sum_{i = 0}^{n - 1}ss[i].length)$
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 剑指 Offer II 115 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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