李宏毅机器学习笔记-深度学习

李宏毅机器学习笔记-深度学习

1 深度学习的三个步骤

deep learning与机器学习类似,也有3个步骤:

李宏毅机器学习笔记-深度学习_第1张图片

  • Step1:神经网络(Neural network)
  • Step2:模型评估(Goodness of function)
  • Step3:选择最优函数(Pick best function)

那对于深度学习的Step1就是神经网络(Neural Network)

1.1神经网络

神经网络(Neural network)里面的节点,类似我们的神经元。

神经网络也可以有很多不同的连接方式,这样就会产生不同的结构(structure)在这个神经网络里面,我们有很多逻辑回归函数,其中每个逻辑回归都有自己的权重和自己的偏差,这些权重和偏差就是参数。
神经元的连接方式人为给定的。

1.1.1完全连接前馈神经网络

概念:前馈(feedforward)也可以称为前向,从信号流向来理解就是输入信号进入网络后,信号流动是单向的,即信号从前一层流向后一层,一直到输出层,其中任意两层之间的连接并没有反馈(feedback),亦即信号没有从后一层又返回到前一层。

  • 当已知权重和偏差时输入 ( 1 , − 1 ) (1,-1) (1,1)的结果
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  • 已知输入为0,0时,内部的计算过程
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当输入0和0时,则得到0.51和0.85,所以一个神经网络如果权重和偏差都知道的话就可以看成一个函数,他的输入是一个向量,对应的输出也是一个向量。不论是做回归模型(linear model)还是逻辑回归(logistics regression)都是定义了一个函数集(function set)。我们可以给上面的结构的参数设置为不同的数,就是不同的函数(function)。这些可能的函数(function)结合起来就是一个函数集(function set)。这个时候你的函数集(function set)是比较大的,是以前的回归模型(linear model)等没有办法包含的函数(function),所以说深度学习(Deep Learning)能表达出以前所不能表达的情况。

我们通过另一种方式显示这个函数集:

  • 全链接和前馈的理解

    输入层(Input Layer):1层
    隐藏层(Hidden Layer):N层
    输出层(Output Layer):1层
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  • 为什么叫全链接呢?

    • 因为layer1与layer2之间两两都有连接,所以叫做Fully Connect;
  • 为什么叫前馈呢?

    • 因为现在传递的方向是由前往后传,所以叫做Feedforward。
深度的理解

那什么叫做Deep呢?Deep = Many hidden layer。可以有很多层:
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  • 2012 AlexNet:8层
  • 2014 VGG:19层
  • 2014 GoogleNet:22层
  • 2015 Residual Net:152层
  • 101 Taipei:101层

随着层数变多,错误率降低,随之运算量增大,通常都是超过亿万级的计算。对于这样复杂的结构,我们一定不会一个一个的计算,对于亿万级的计算,使用loop循环效率很低。

这里我们就引入矩阵计算(Matrix Operation)能使得我们的运算的速度以及效率高很多:

矩阵计算

如下图所示,输入是 [ 1 − 2 − 1 1 ] \begin{bmatrix}&1&-2\\ &-1&1\end{bmatrix} [1121],输出是 [ 0.98 0.12 ] \begin{bmatrix}&0.98\\ &0.12\end{bmatrix} [0.980.12]
计算方法就是:sigmoid(权重w(黄色) * 输入(蓝色)+ 偏移量b(绿色))= 输出
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其中sigmoid更一般的来说是激活函数(activation function),现在已经很少用sigmoid来当做激活函数。

如果有很多层呢?
a 1 = σ ( w 1 x + b 1 ) a 2 = σ ( w 1 a 1 + b 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ y = σ ( w L a L − 1 + b L ) a^1 = \sigma (w^1x+b^1) \\ a^2 = \sigma (w^1a^1+b^2) \\ ··· \\ y = \sigma (w^La^{L-1}+b^L) a1=σ(w1x+b1)a2=σ(w1a1+b2)y=σ(wLaL1+bL)

计算方法就像是嵌套,这里就不列公式了,整个神经网络运算就相当于一连串的矩阵运算。
在这里插入图片描述

从结构上看每一层的计算都是一样的,也就是用计算机进行并行矩阵运算。
这样写成矩阵运算的好处是,你可以使用GPU加速。
整个神经网络可以这样看:

本质:通过隐藏层进行特征转换

把隐藏层通过特征提取来替代原来的特征工程,这样在最后一个隐藏层输出的就是一组新的特征(相当于黑箱操作)而对于输出层,其实是把前面的隐藏层的输出当做输入(经过特征提取得到的一组最好的特征)然后通过一个多分类器(可以是softmax函数)得到最后的输出y。
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2 示例:手写数字识别

举一个手写数字体识别的例子:
输入:一个16*16=256维的向量,每个pixel对应一个dimension,有颜色用(ink)用1表示,没有颜色(no ink)用0表示
输出:10个维度,每个维度代表一个数字的置信度。
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从输出结果来看,每一个维度对应输出一个数字,是数字2的概率为0.7的概率最大。说明这张图片是2的可能性就是最大的
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在这个问题中,唯一需要的就是一个函数,输入是256维的向量,输出是10维的向量,我们所需要求的函数就是神经网络这个函数

从上图看神经网络的结构决定了函数集(function set),所以说网络结构(network structured)很关键。

多少层? 每层有多少神经元?
这个问我们需要用尝试加上直觉的方法来进行调试。对于有些机器学习相关的问题,我们一般用特征工程来提取特征,但是对于深度学习,我们只需要设计神经网络模型来进行就可以了。对于语音识别和影像识别,深度学习是个好的方法,因为特征工程提取特征并不容易。

结构可以自动确定吗?
有很多设计方法可以让机器自动找到神经网络的结构的,比如进化人工神经网络(Evolutionary Artificial Neural Networks)但是这些方法并不是很普及 。

我们可以设计网络结构吗?
可以的,比如 CNN卷积神经网络(Convolutional Neural Network )

2.1 模型评估

损失示例

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对于模型的评估,我们一般采用损失函数来反应模型的好差,所以对于神经网络来说,我们采用交叉熵(cross entropy)函数来对 y y y y ^ \hat{y} y^的损失进行计算,接下来我们就是调整参数,让交叉熵越小越好。

总体损失

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对于损失,我们不单单要计算一笔数据的,而是要计算整体所有训练数据的损失,然后把所有的训练数据的损失都加起来,得到一个总体损失L。接下来就是在function set里面找到一组函数能最小化这个总体损失L,或者是找一组神经网络的参数 θ \theta θ,来最小化总体损失L

2.2 选择最优函数

如何找到最优的函数和最好的一组参数呢,我们用的就是梯度下降

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具体流程: θ \theta θ是一组包含权重和偏差的参数集合,随机找一个初试值,接下来计算一下每个参数对应偏微分,得到的一个偏微分的集合 ∇ L \nabla{L} L就是梯度,有了这些偏微分,我们就可以不断更新梯度得到新的参数,这样不断反复进行,就能得到一组最好的参数使得损失函数的值最小

3 反向传播

在神经网络中计算损失最好的方法就是反向传播,我们可以用很多框架来进行计算损失,比如说TensorFlow,theano,Pytorch等等

3.1链式法则

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  • 连锁影响(可以看出x会影响y,y会影响z)

  • BP主要用到了chain rule

3.2反向传播

  1. 损失函数(Loss function)是定义在单个训练样本上的,也就是就算一个样本的误差,比如我们想要分类,就是预测的类别和实际类别的区别,是一个样本的,用L表示。
  2. 代价函数(Cost function)是定义在整个训练集上面的,也就是所有样本的误差的总和的平均,也就是损失函数的总和的平均,有没有这个平均其实不会影响最后的参数的求解结果。
  3. 总体损失函数(Total loss function)是定义在整个训练集上面的,也就是所有样本的误差的总和。也就是平时我们反向传播需要最小化的值。
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对于 L ( θ ) L(\theta) L(θ)就是所有 l n l^n ln的损失之和,所以如果要算每个 L ( θ ) L(\theta) L(θ)的偏微分,我们只要算每个 l n l^n ln的偏微分,再把所有 l n l^n ln偏微分的结果加起来就是 L ( θ ) L(\theta) L(θ)的偏微分,所以等下我们只计算每个 l n l^n ln的偏微分。
我们先在整个神经网络(Neural network)中抽取出一小部分的神经(Neuron)去看(也就是红色标注的地方):

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取出一个Neuron进行分析

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从这一小部分中去看,把计算梯度分成两个部分

  • 计算 ∂ z ∂ w \frac{\partial z}{\partial w} wz(Forward pass的部分)

  • 计算 ∂ l ∂ z \frac{\partial l}{\partial z} zl ( Backward pass的部分 )

3.2.1 Forward Pass

那么,首先计算 ∂ z ∂ w \frac{\partial z}{\partial w} wz(Forward pass的部分):
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根据求微分原理,forward pass的运算规律就是:

∂ z ∂ w 1 = x 1 ∂ z ∂ w 2 = x 2 \frac{\partial z}{\partial w_1} = x_1 \\ \frac{\partial z}{\partial w_2} = x_2 w1z=x1w2z=x2
这里计算得到的 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2恰好就是输入的 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2
直接使用数字,更直观地看到运算规律:
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3.2.2 Backward Pass

(Backward pass的部分)这就很困难复杂因为我们的l是最后一层:
那怎么计算 ∂ l ∂ z \frac{\partial l}{\partial z} zl (Backward pass的部分)这就很困难复杂因为我们的 l l l是最后一层:

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计算所有激活函数的偏微分,激活函数有很多,这里使用Sigmoid函数为例

这里使用链式法则(Chain Rule)的case1,计算过程如下:

∂ l ∂ z = ∂ a ∂ z ∂ l ∂ a ⇒ σ ′ ( z ) \frac{\partial l}{\partial z} = \frac{\partial a}{\partial z}\frac{\partial l}{\partial a} \Rightarrow {\sigma}'(z) zl=zaalσ(z)
∂ l ∂ a = ∂ z ′ ∂ a ∂ l ∂ z ′ + ∂ z ′ ′ ∂ a ∂ l ∂ z ′ ′ \frac{\partial l}{\partial a} = \frac{\partial z'}{\partial a}\frac{\partial l}{\partial z'} +\frac{\partial z''}{\partial a}\frac{\partial l}{\partial z''} al=azzl+azzl
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最终的式子结果:

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但是你可以想象从另外一个角度看这个事情,现在有另外一个神经元,把forward的过程逆向过来,其中 σ ′ ( z ) {\sigma}'(z) σ(z)是常数,因为它在向前传播的时候就已经确定了

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  • case 1 : Output layer

假设 ∂ l ∂ z ′ \frac{\partial l}{\partial z'} zl ∂ l ∂ z ′ ′ \frac{\partial l}{\partial z''} zl是最后一层的隐藏层
也就是就是y1与y2是输出值,那么直接计算就能得出结果
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但是如果不是最后一层,计算 ∂ l ∂ z ′ \frac{\partial l}{\partial z'} zl ∂ l ∂ z ′ ′ \frac{\partial l}{\partial z''} zl的话就需要继续往后一直通过链式法则算下去

  • case 2 : Not Output Layer

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对于这个问题,我们要继续计算后面绿色的 ∂ l ∂ z a \frac{\partial l}{\partial z_a} zal ∂ l ∂ z b \frac{\partial l}{\partial z_b} zbl,然后通过继续乘 w 5 w_5 w5 w 6 w_6 w6得到 ∂ l ∂ z ′ \frac{\partial l}{\partial z'} zl,但是要是 ∂ l ∂ z a \frac{\partial l}{\partial z_a} zal ∂ l ∂ z b \frac{\partial l}{\partial z_b} zbl都不知道,那么我们就继续往后面层计算,一直到碰到输出值,得到输出值之后再反向往输入那个方向走。

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对上图,我们可以从最后一个 ∂ l ∂ z 5 \frac{\partial l}{\partial z_5} z5l ∂ l ∂ z 6 \frac{\partial l}{\partial z_6} z6l看,因为 ∂ l ∂ z a \frac{\partial l}{\partial z_a} zal ∂ l ∂ z b \frac{\partial l}{\partial z_b} zbl比较容易通过output求出来,然后继续往前求 ∂ l ∂ z 3 \frac{\partial l}{\partial z_3} z3l ∂ l ∂ z 4 \frac{\partial l}{\partial z_4} z4l,再继续求 ∂ l ∂ z 1 \frac{\partial l}{\partial z_1} z1l ∂ l ∂ z 2 \frac{\partial l}{\partial z_2} z2l
最后我们就得到下图的结果
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实际上进行backward pass时候和向前传播的计算量差不多。

总结

我们的目标是要求计算 ∂ z ∂ w \frac{\partial z}{\partial w} wz(Forward pass的部分)和计算 ∂ l ∂ z \frac{\partial l}{\partial z} zl ( Backward pass的部分 ),然后把 ∂ z ∂ w \frac{\partial z}{\partial w} wz ∂ l ∂ z \frac{\partial l}{\partial z} zl相乘,我们就可以得到 ∂ l ∂ w \frac{\partial l}{\partial w} wl,所有我们就可以得到神经网络中所有的参数,然后用梯度下降就可以不断更新,得到损失最小的函数
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