【算法复习二】八皇后问题 ---- 回溯

一，问题描述

       在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

 

二，分析

       采用逐步试探的方式，先从一个方向往前走，能进则进，不能进则退并尝试另外的路径。首先我们来分析一下国际象棋的规则，这些规则能够限制我们的前进，也就是我们前进途中的障碍物。一个皇后q(x,y)能被满足以下条件的皇后q(row,col)吃掉

       1）x=row(纵向不能有两个皇后)

       2） y=col（横向不能有两个皇后）

       3）col + row = y+x;（斜向正方向）

       4）col - row = y-x;（斜向反方向）

       遇到上述问题之一的时候，说明我们已经遇到了障碍，不能继续向前了。我们需要退回来，尝试其他路径。

       我们将棋盘看作是一个8*8的数组，这样可以使用一种蛮干的思路去解决这个问题，这样我们就是在8*8=64个格子中取出8个的组合，C(64,8) = 4426165368,显然这个数非常大，在蛮干的基础上我们可以增加回溯，从第0列开始，我们逐列进行，从第0行到第7行找到一个不受任何已经现有皇后攻击的位置。

 

          

        前面四列的摆放如上图则 第五列，我们会发现找不到皇后的安全位置

        第五列的时候，摆放任何行都会受到上图所示已经存在的皇后的攻击，这时候我们认为我们撞了南墙了，是回头的时候了，我们后退一列，将原来摆放在第四列的皇后

（3，4）拿走，从（3，4）这个位置开始，我们在第四列中寻找下一个安全位置为（7，4），再继续到第五列，发现第五列仍然没有安全位置，回溯到第四列，此时第四列也是一个死胡同了，我们再回溯到第三列，这样前进几步，回退一步，最终直到在第8列上找到一个安全位置（成功）或者第一列已经是死胡同，但是第8列仍然没有找到安全位置为止

     

       总结一下，用回溯的方法解决8皇后问题的步骤为：

            1>从第一列开始，为皇后找到安全位置，然后跳到下一列

            2>如果在第n列出现死胡同，如果该列为第一列，棋局失败，否则后退到上一列，在进行回溯

            3>如果在第8列上找到了安全位置，则棋局成功。

 

三，源码（精选自网友解答）

       回溯法非递归

#include<iostream> using namespace std; #define N 8 //N代表皇后数 void queen() { int Count=0; //计算总共的解的数量 int column[N+1]; //column[m]=n 表示第m列，第n行放置了皇后,这里下表并从0开始 int row[N+1]; //row[m]=1表示第m行没有皇后，=0表示有皇后 int b[2*N+1]; //b[m]=1表示第m条主对角线没有皇后， int c[2*N+1]; //c[m]=1表示第m条次对角线没有皇后，=0表示有皇后 int numQueen=1; //计数已经放置的皇后数目，当numQueen=N时候则表示已经完成探测 int good=1; //good=1表示没有发生冲突,good=0表示发生冲突 //初始化这些标记 for(int j=0;j<N+1;++j) { row[j]=1; //没有皇后 } for(int j=0;j<2*N+1;++j) { b[j]=c[j]=1; } column[1]=1; column[0]=0; //初始化第一行第一列，第二行第二列放置皇后 do { //没有发生冲突，则继续向下探测，增加皇后或者判断当前是否是解 if(good) { //当前皇后数是解，打印，继续向下探测 if(numQueen==N) { Count++; cout<<"找到解"<<endl; for(int j=1;j<N+1;++j) { cout<<j<<"列"<<column[j]<<"行"<<endl; } //最后一个棋子向下移动,移动到本列最后一个 while(column[numQueen]==N) { numQueen--; //皇后数减1，即列数减1，回溯 //回溯后将该列以及该列最后一行状态位修改 //第numQueen列column[numQueen]行处状态位置修改 row[column[numQueen]]=1; b[numQueen+column[numQueen]]=1; c[N+numQueen-column[numQueen]]=1; } column[numQueen]++; //回溯至上一行，向上一行的下一列继续探测 } //当前不是解，那么继续向下探测 else { //改变该位置对应标志 row[column[numQueen]]=0; b[numQueen+column[numQueen]]=0; c[N+numQueen-column[numQueen]]=0; //本次位置没有发生冲突，也不是正确解，那么就应该向下探测下一列的第一行 column[++numQueen]=1; } } //如果当前发生了冲突，就在本列继续向下，如果到了本列最后一行，则回溯到上一列 else { while(column[numQueen]==N) //到了本列最后一行，还是冲突，那么回溯到上一列 { numQueen--; row[column[numQueen]]=1; b[numQueen+column[numQueen]]=1; c[N+numQueen-column[numQueen]]=1; } column[numQueen]++; //发生冲突了，又没有到本列的最后一行，那么在本列继续向下一行探测 } //检测放置了这个位置后是否冲突 good=row[column[numQueen]]&b[numQueen+column[numQueen]]&c[N+numQueen-column[numQueen]]; }while(numQueen); cout<<N<<"皇后总共找到解："<<Count<<"个"<<endl; } int main() { queen(); system("pause"); return 0; }

 

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