一,组合数学问题
1)排列定义
• 从n个不同的元素中,取r个不重复的元素,按次序排列,称为从n个中取r个的无重排列。
•排列的全体组成的集合用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。
组合定义
• 定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集,而不考虑其元素的顺序,称为从n个中取r个的无重组合。
• 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示。
2)例题一:某车站有6个入口处,每个入口处每次只能进一人,一组9个人进站的方案有多少?
【解法】一进站方案表示成:
00011001010100
其中“0”表示人,“1”表示门框,其中“0”是不同元,“1”是相同元。给“1”n个门只用n-1个门框。任意进站方案可表示成上面14个元素的一个排列。
[解法1]
分析:第一个人可以有6种进站的方式,也就是从6个入口的任意一个站进站,那么第二个人也可以有6种选择入口的方法,但是假如他和第一个人选择的入口是相同的话,就有谁在前的情况,所以第二个人就有了7种进站方案;同理,第三个人进站的话就有8种进站方案,这样算下去,那么第九个人就有14种进站的方法。
故所求方案为 14!/5!=6×7×8×...×14=726485720
[解法2]
在14个元的排列中先确定“1”的位置,有C(14,5)种选择,在确定人的位置,有9!种选择。
故 C(14,5)*9! 即所求:14!/5!
注意:C(14,5)= (14! - (14-5)!)/ 5!
如:a10 a3 a40 a6 a70 a9 a100 a120 a14
方案为(2,5,8,11,13)
例题二:简单格路径数问题 (类腾讯笔试题)
从 (0,0)点出发沿x轴或y轴的正方向每步走一个单位,最终走到(m,n)点,有多少条路径?
【分析】• 无论怎样走法,在x方向上总共走m步,在y方向上总共走n步。若用一个x表示x方向上的一步,一个字母y表示y方向上的一步。
• 则(0,0)→(m,n)的每一条路径可表示为m个x与n个y的一个有重排列。将每一个有重排列的x与y分别编号,可得m!*n!个m+n元的无重全排列。
【分析】向上可以走m步,向右可以走n步。注意,必须向上走m步,向右走n步才能到达(m,n)
只需要考虑上和右依次在哪里出现,所以不难得出答案 C(m+n,n)=C(m+n,m)
3)容斥原理
•最简单的计数问题是求有限集合A和B的并的元素数目。显然有
• 定理:即具有性质A或B的元素的个数等于具有性质A和B的元素个数。
求a,b,c,d,e,f六个字母的全排列中不允许出现ace和df图象的排列数。
解:设A为ace作为一个元素出现的排列集,B为df作为一个元素出现的排列集, A∩B为同时出现ace、df的排列数。
• |A|=4!|B|=5! |A∩B|=3!
|A∩B|= 6!- (5!+4!)+3!=582
4) 容斥与鸽巢原理
鸽巢原理之一: 鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本的原理,也叫抽屉原理。即“若有n个鸽子巢,n+1个鸽子,则至少有一个巢内有至少有两个鸽子。”
• 367人中至少有2人的生日相同。
• 10双手套中任取11只,其中至少有两只是完整配对的。
• 参加一会议的人中至少有2人认识的别的参加者的人数相等。
鸽巢原理之二:m1 , m2 , … , mn都是正整数,并有m1 + m2 +… +mn-n + 1个鸽子住进n个鸽巢,则至少对某个 i有第 i个巢中至少有mi个鸽子,i = 1 , 2 , … , n.
•显然,鸽巢原理之一是鸽巢原理之二的特殊情况,即m1 = m2 = … = mn= 2,如若不然,则对任意 i, 都有第i个巢中的鸽子数≤mi-1 则,鸽子总数≤ m1 + m2 +… +mn-n,与假设相矛盾.
例题一:拉蒙赛(Ramsey)问题
6 个人中至少存在3人相互认识或者相互不认识
•证:这个问题与凸六边形完全图的内边着二色,存在同色三角形等价.假定用红蓝着色.
• 设凸六边形完全图的顶点集为{v1, v2 , ··· , v6 },dr(v)表示与顶点v 关联的红色边的条数,db(v)表示与v 关联的蓝色边的条数.在凸六边形完全图中,有dr(v)+db(v)=5,由鸽巢原理可知,至少有3条边同色.
例题二:拉丁方
• 有1,2,3..,n构成的n╳n方阵,(aij)n╳n
要求:每行每列1,2,3..,n各出现一次。称为拉丁方。
二,生成函数
生成函数定义
• 对于序列a0,a1,a2,a3,a4……构造一函数:G(x) = a0 + a1x + a2x`2 + ……称函数G(x)是序列a0,a1,a2,a3,a4……的生成函数。
•例如:(1+x)`n是C(n,0),C(n,1),C(n,2)……C(n,n)的生成函数。
•如若已知序列a0,a1,a2,a3,a4……则对应的生成函数G(x)便可根据定义给出。反之亦然。
例题:由红球两个,白球、黄球各一个,试求有多少种不同的组合方案
一个球:3
二个球:4
三个球:3
四个球:1 总共:12种
三,指数型生成函数
指数型生成函数的概念
• 设有n个元素,其中元素a1重复了n1 次,元素a2重复了n2 次,…,ak重复了nk次,从中取r个排列,求不同的排列数.
• 如果n1 = n2 = n3 = …… nk = 1,则是一般的排列问题。
现在由于出现重复,故不同的排列计数便比较复杂。先考虑n个元素的全排列,若n个元素没有完全一样的元素,则应有n! 种排列。若考虑ni 个元素ai 的全排列数为ni!,则真正不同的排列数为 n! /(n1!*n2!*……nk!)