算法理论——快速幂思想(附例题)

文章目录

  • 例题引入
    • 题目要求
    • 示例
  • 快速幂解释及相应题解
    • 解释
    • 题解
  • 进阶题目
    • 题目要求
    • 示例
    • 题解

例题引入

题目要求

实现 pow(x, n) ,即计算 x 的 n 次幂函数(即,xn)。

示例

  • 示例 1:

输入:x = 2.00000, n = 10 输出:1024.00000

  • 示例 2:

输入:x = 2.10000, n = 3 输出:9.26100

  • 示例 3:

输入:x = 2.00000, n = -2 输出:0.25000 解释:2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25

快速幂解释及相应题解

「快速幂算法」的本质是分治算法。

解释

  • 举个例子,如果我们要计算 x^64,我们可以按照:

    x→x^2 → x4→x8→x16→x32→x^64 的顺序,从 x 开始,每次直接把上一次的结果进行平方,计算 6 次就可以得到 x^64 的值,而不需要对 x 乘 63 次 x。

  • 再举一个例子,如果我们要计算 x^77 ,我们可以按照:

    x — x^2 — x^4 —x^9 — x^19 —x^38 — x^77的顺序

    x —x2,x2 —x^4x ,x^19 — x^38这些步骤中,我们直接把上一次的结果进行平方 而在
    x^4 —x^9 ,x^9 — x19,x38 —x^77,这些步骤中,我们把上一次的结果进行平方后,还要额外乘一个 x。

直接从左到右进行推导看上去很困难,因为在每一步中,我们不知道在将上一次的结果平方之后,还需不需要额外乘 xx。但如果我们从右往左看,分治的思想就十分明显了:

当我们要计算 x^n时,我们可以先递归地计算出 y=x ^⌊n/2⌋
,其中 ⌊a⌋ 表示对 a 进行下取整;

根据递归计算的结果,如果 n 为偶数,那么 x^n = y^2
;如果 n 为奇数,那么 x^n = y^2 *x

递归的边界为 n = 0,任意数的 0 次方均为 1。

由于每次递归都会使得指数减少一半,因此递归的层数为 O(log n),算法可以在很快的时间内得到结果。

题解

class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        def quickMul(N):
            if N == 0:
                return 1.0
            y = quickMul(N // 2)
            return y * y if N % 2 == 0 else y * y * x
        
        return quickMul(n) if n >= 0 else 1.0 / quickMul(-n)

进阶题目

题目要求

你的任务是计算 ab 对 1337 取模,a 是一个正整数,b 是一个非常大的正整数且会以数组形式给出。

示例

  • 示例 1:

输入:a = 2, b = [3] 输出:8

  • 示例 2:

输入:a = 2, b = [1,0] 输出:1024

  • 示例 3:

输入:a = 1, b = [4,3,3,8,5,2] 输出:1

  • 示例 4:

输入:a = 2147483647, b = [2,0,0] 输出:1198

题解

class Solution:
    def superPow(self, a: int, b: List[int]) -> int:
        r = 1
        a%=1337
        for i in b:
            r = pow(r, 10) * pow(a, i) % 1337
        return 

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