排列熵、模糊熵、近似熵、样本熵的原理及MATLAB实现之近似熵
说明：“本博文为排列熵、模糊熵、近似熵、样本熵的原理及MATLAB实现”系列博文的最后一篇，关于排列熵、模糊熵、样本熵的内容请阅读博客：
排列熵
模糊熵
样本熵
近似熵
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- 四、近似熵
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- 1.简介
- 2.基本原理
- 3.MATLAB代码
- 参考文献
四、近似熵
1.简介
近似熵（approximate entropy，ApEn）可以定量描述时间序列的复杂程度，序列的复杂性越大，相应的近似熵也越大。近似熵的值受数据量的影响较小，对于非平稳、非线性序列的量化结果稳定，在实际工程中得以广泛应用。
2.基本原理
设有长度为 N N N 的时间序列 X = [ x 1 , x 2 , … , x N ] X= [x_{1}, x_{2},…,x_{N} ] X=[x1,x2,…,xN]，其近似熵的计算步骤如下：
Step1：将时间序列 X X X 的元素按顺序排列为具有 m m m 维数的向量，即
X i = [ x ( i ) , x ( i + 1 ) , . . . , x ( i + m − 1 ) ] X_{i}=[x(i),x(i+1),...,x(i+m-1)] Xi=[x(i),x(i+1),...,x(i+m−1)]
式中， i = 1 , 2 , … , N − m + 1 i=1, 2 , … , N-m+1 i=1,2,…,N−m+1。
Step2：定义 d [ X i , X j ] d [X_{i}, X_{j}] d[Xi,Xj] 为向量 X i X_{i} Xi 与 X j X_{j} Xj 的距离，则：
d [ X i , X j ] = m a x ∣ x ( i + k ) − x ( j + k ) ∣ ， k ∈ ( 0 , m − 1 ) d [X_{i}, X_{j}]=max|x(i+k)-x(j+k)|，k∈(0,m-1) d[Xi,Xj]=max∣x(i+k)−x(j+k)∣，k∈(0,m−1)
Step3：记 B i B_{i} Bi 为 d [ X i , X j ] ≤ r d [X_{i}, X_{j}] ≤ r d[Xi,Xj]≤r的个数( r r r 为相似容限)，并计算 B i B_{i} Bi 与全部矢量数 N − m + 1 N-m+1 N−m+1 的比值，即：
B i m ( r ) = B i N − m + 1 B^{m}_{i}(r)=\frac{B_{i}}{N-m+1} Bim(r)=N−m+1Bi
Step4：对 B i m ( r ) B^{m}_{i}(r) Bim(r) 进行取对数运算，再求其对所有 i i i 的平均值，记作 B m ( r ) B^{m}(r) Bm(r) ，则有：
B m ( r ) = 1 N − m + 1 ∑ i = 1 N − m + 1 l n B i m ( r ) B^{m}(r)=\frac{1}{N-m+1}\sum_{i=1}^{N-m+1}lnB^{m}_{i}(r) Bm(r)=N−m+11i=1∑N−m+1lnBim(r)
Step5：令 m = m + 1 m=m+1 m=m+1，并重复 Step1~Step4，即可得到 B m + 1 ( r ) B^{m+1}(r) Bm+1(r) 。
Step6：理论上，此序列的近似熵为：
A p E n ( m , r ) = l i m [ B m ( r ) − B m + 1 ( r ) ] ， N → ∞ ApEn(m,r)=lim[B^{m}(r)-B^{m+1}(r)]，N→∞ ApEn(m,r)=lim[Bm(r)−Bm+1(r)]，N→∞
对于实际的序列， N N N 不可能趋近无穷大，因此近似熵可表示为：
A p E n ( m , r , N ) = B m ( r ) − B m + 1 ( r ) ApEn(m,r,N)=B^{m}(r)-B^{m+1}(r) ApEn(m,r,N)=Bm(r)−Bm+1(r)
近似熵本质上是一个关于序列和参数的统计值，它的大小与数据长度 N N N 、嵌入维数 m m m 和相似容限 r r r 有关。为了得到较好的统计特性以及较小的误差， 数据长度 N N N 通常在100～5000 取值，嵌入维数 m m m 一般取 1 或 2，相似容限 r r r 取(0.1～0.25)* s t d std std， s t d std std 为序列的标准差。
3.MATLAB代码
% 主程序
clc;
clear;
close all;
%% 产生仿真信号
fs = 1000; % 数据采样率
t = (0:1/fs:(1-1/fs)); % 时间
x = cos(50*pi*t+sin(5*pi*t)); % 数据
%% 画图
figure;
plot(t,x);
xlabel('t/s');ylabel('幅值');title('信号的时域波形');
%% 求仿真信号x的近似熵
m = 2; % 嵌入维数
r0 = 0.2; % 相似容限的系数
r = r0*std(x); % 相似容限
appEn = ApproximateEntropy(m,r,x); % 近似熵
% 求近似熵的函数
function appEn = ApproximateEntropy(dim, r, data, tau)
% 近似熵算法的提出者：Pincus S M . Approximate entropy as a measure of system complexity[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences ,1991,88(6):2297—2301.
% Input:
% dim：嵌入维数(一般取1或者2)
% r：相似容限( 通常取0.1*Std(data)~0.25*Std(data) )
% data：时间序列数据，data须为1xN的矩阵
% tau：下采样延迟时间（在默认值为1的情况下，用户可以忽略此项）
% Output:
% appEn：所求数据的近似熵
if nargin < 4
tau = 1;
end
if tau > 1
data = downsample(data, tau);
end
N = length(data);
result = zeros(1,2);
for m = dim:dim+1
Bi = zeros(N-m+1,1);
dataMat = zeros(N-m+1,m);
% 设置数据矩阵，构造成m维的矢量
for i = 1:N-m+1
dataMat(i,:) = data(1,i:i+m-1);
end
% 利用距离计算相似模式数
for j = 1:N-m+1
% 计算切比雪夫距离，包括自匹配情况
dist = max(abs(dataMat - repmat(dataMat(j,:),N-m+1,1)),[],2);
% 统计dist小于等于r的数目
D = (dist <= r);
% 包括自匹配情况
Bi(j,1) = sum(D)/(N-m+1);
end
% 求所有Bi的均值
result(m-dim+1) = sum(log(Bi))/(N-m+1);
end
% 计算得到的近似熵值
appEn = result(1)-result(2);
end
参考文献
[1] 近似熵理论相关知识与代码实现
[2] Pincus S M . Approximate entropy as a measure of system complexity[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences ,1991,88(6):2297—2301.