HDU 1028 Ignatius and the Princess III伊格和公主III（AC代码）母函数

 

本题听说可用递推、DP等方法来做，但是此题是母函数的入门经典喔~所以我用了母函数

 1 #include <iostream>
 2 #define N 120
 3 using namespace std;
 4 int ans[N+1],sup[N+1];//ans保存答案，sup保存临时值
 5 void main()
 6 {
 7     int num=0,i,j,k;
 8     for(i=0;i<N+1;i++)    //全部初始化为1
 9         ans[i]=1;
10     for(i=2;i<=N;i++)    // 第i个括号
11     {
12         for(j=0;j<=N;j+=i)  //第i个括号中的第j项
13             for(k=0;k+j<=N;k++)  //临时答案中的第k个数字
14                 sup[j+k]+=ans[k];   
15         for(k=0;k<=N;k++)  //每解决一个括号，得将答案保存，后一括号乘以此答案得出新答案
16             ans[k]=sup[k];
17         memset(sup,0,sizeof(sup));//临时数组清零
18     }
19     while(cin>>k)    //用c++的话得这么写才对
20         cout<<ans[k]<<endl;
21 }

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题意：输入一个数n，求组合成此数字可以有多少种方法，每一方法是不记录排列顺序的。用来组成的数字可以有1、2、3....n。比如n个1组成了n，一个n也组成n。这就算两种。1=1，2=1+1=2，3=3=1+2=1+1+1，而1+2和2+1只能算一种。n最大为120。

思路：关于母函数的原理不讲了。讲怎么实现几个括号相乘。

 

举例总比讲一堆废话有用，看题：

我们要算的n是等于120，把其简化为5，就是说设n最大为5，道理一样的。5一共有7种方法对吗！自己手写吧。

如果想要得出结果，那么一共有5个括号要相乘，分别如下：

 

为什么是5个括号？

第1个括号：最多可由5个1组成。

第2个括号：最多只能有两个2对吧？如果3个2就已经是6了，6超过5了喔~

第3~5个括号：好了，你已经学会了类推法！

 

怎么乘？

以初中老师教的方法是第2个括号乘以第1个括号，然后第3个括号乘以上一次相乘的结果....

一共4步，也就是n-1步，那么i=2to n是不是有n-1步？比如i=2、3、4、5，就是4步嘛。

接着，两个括号的相乘要怎么办？

在i的循环内再加一个循环，得把每一步的右边括号里的每个数都要乘以左边括号一次。那j的上下限是多少？下限为0，上限是5，即n。但是过程不是只是自增一，而是自增i个单位，为什么？第1步j的值就会为0、2、4，间隔为2，而第2步中j的值就会为0、3，间隔为3，如果n>5的话，第2步的j的值就会为0、3、6了。所以呢！j=0 to n递增方式(j+=i)。

此时就完毕了？没呢！

上一步骤只是将每一步中的右边括号拆出来逐个乘以左边括号，但是左边括号还没拆呢。对于每个j，也就是右边括号里的每个值，都得逐个乘以左边括号里的每个值。那么得再叠加一层循环了，下限为0，上限为5，即为n。又为什么？第1个括号中不是有6位吗，而每个括号中还有个1在最前面，别落下了。这里讲不出思路了，意会吧！

 

讲代码：

代码中ans数组先保存第1个括号中的每个系数，也就是全为1，比如ans[0]=1，ans[1]=1.....

这个数组在同一个i值的情况下不能变化，我本来想用一个数组解决，但是后来发现搞不定，所以开了个辅助数组sup。

当每次右括号中的一个数乘以左括号时，将相乘的结果累加在sup数组中，整个右括号里的数都乘过一次后，再将sup数组中的值存到ans数组中， 作为临时答案。

这样子ans中最后保存的就是所要的系数了，ans的下标代表x的几次方，比如ans[4]代表x的4次方的系数。

 

 将整个乘法的过程自己实现一下才知道其精髓，和很多需要注意的地方，看代码实在不是好习惯。