铭记于心 | ||
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✨我唯一知道的,便是我一无所知✨ |
子序列是什么?:
例如对于字符串"woaini",wan是其一个子序列,woain也是一个子序列。子序列不要求连续性,而子串必须是连续的。
于是我们想到这种方法可以用暴力递归来做,即尝试所有的公共子序列,然后取里面最长的,,但是我们追求更高的效率,我们发先最长公共子序列问题有最优子结构,这个问题可以分解称为更小的问题,,同时,子问题的答案可被重复使用,也就是说更高级别的子问题会重用更小子问题的解。。如此,我们便可以通过记忆化搜索的方式改进递归、
下面我们先来推 递归需要满足的条件(也就是列举可能性)
1.假设两个字符串s1, s2。当其中一个串的长度为0时,公共子序列的长度肯定为0。
2.假设s1的第i个字符与s2的第j个字符相等时,最长子序列等于s1的第i-1个字符与s2的第j-1个字符最长子序列长度+1。
3.假设s1的第i个字符与s2的第j个字符不相等时,最长子序列等于s1的第i个字符与s2的第j-1个字符最长子序列长度或s1的第i-1个字符与s2的第j个字符最长子序列长度中最大那一个。
代码如下:
int process(string& str1, string& str2, int i, int j) {//以i,j为结尾下标
if (dp[i][j])//如果该位置的答案已经被求解出来,那么直接返回答案
{
return dp[i][j];
}
if (i == 0 && j == 0) {//分析各种边界条件(当两字符串其中一个或者都只剩下一个字符时,分析两者相等与不等的情况),找递归出口
if (str1[i] == str2[j]) {
dp[i][j] = 1;
}
flag[i][j] = 1;//记录路径(如果相同就标为1,而因为这里两个字符串都只剩下一个字符,
//所以无论标为1,2,还是3(即无论向哪走)都会结束,所以这里标几也就不重要了)
return dp[i][j];
}
else if (i == 0) {
if (str1[i] == str2[j]) {
dp[i][j] = 1;
flag[i][j] = 1;
return dp[i][j];
}
else {//如果不同,则标为2(往左走)
dp[i][j] = process(str1, str2, i, j - 1); flag[i][j] = 2; return dp[i][j];
}
}
else if (j == 0) {
if (str1[i] == str2[j]) {
flag[i][j] = 1;
dp[i][j] = 1; return dp[i][j];
}
else {//标为3(往右走)
dp[i][j] = process(str1, str2, i - 1, j); flag[i][j] = 3; return dp[i][j];
}
}
int p1 = process(str1, str2, i, j - 1);
int p2 = process(str1, str2, i - 1, j); int p3 = 0;
if (str1[i] == str2[j]) {
p3 = process(str1, str2, i - 1, j - 1) + 1;
flag[i][j] = 1;//如果相等就先标上
}
dp[i][j] = max(max(p1, p2), p3);
if (!flag[i][j]) {//这里如果成立,这说明之前没标上,也就是两个字符不相等,那么就找下一步长度最大的标上
if (p2 >= p1)flag[i][j] = 3;
else flag[i][j] = 2;
}
return dp[i][j];
}
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
dp.resize(text1.size(), vector<int>(text2.size())); flag.resize(text1.size(), vector<int>(text2.size()));
string path = "";
int ans = process(text1, text2, text1.size() - 1, text2.size() - 1);
return ans;
}
int main() {
cout << longestCommonSubsequence("YiQingTuiSan", "YIQINGTUISAN") << endl;
return 0;
}
然而我们并不满足只是记忆化搜索,我们追求极致的效率,同时我们发现记忆化搜索的本质其实就是个打表,那为什么我们不从上帝视角根据位置依赖自己把这张表打出来呢?
于是便有了所谓的动态规划
void LCS()
{
for(int i = 1; i <= len1; i++){
for(int j = 1; j <= len2; j++){
if(s1[i-1] == s2[j-1]){ //注:此处的s1与s2序列是从s1[0]与s2[0]开始的
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
}
else{
c[i][j] = max(c[i][j-1], c[i-1][j]) ;
}
}
}
}
如何输出具体路径 ,请移步