把空间椭圆曲线的参数方程变成坐标平面上的隐函数方程

目标

空间椭圆曲线：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x(t)=y(t)=z(t)=1425(−177t∓219−−√875−3t(27t+50)−−−−−−−−−−−−−−−√+450)1425(159t±919−−√875−3t(27t+50)−−−−−−−−−−−−−−−√+100)t

ParametricPlot3D[{{1/425 (450-177z-2Sqrt[19(875-81z^2-150z)]),1/425 (159z+100+9Sqrt[19(875-81z^2-150z)]),z},{1/425 (450-177z+2Sqrt[19(875-81z^2-150z)]),1/425 (159z+100-9Sqrt[19(875-81z^2-150z)]),z}},{z,-30,30},PlotStyle->{Directive[Orange,Opacity[1],Specularity[White,30]],Directive[Orange,Opacity[1],Specularity[White,30]]},ImageSize->700,PlotRangePadding->Scaled[.1],PlotPoints->1500,AxesLabel->{Style["x",Black,18,FontFamily->"Times New Roman",Italic,Bold],Style["y",Black,18,FontFamily->"Times New Roman",Italic,Bold],Style["z",Black,18,FontFamily->"Times New Roman",Italic,Bold]}]/.Line[pts_,rests___]:>Tube[pts,0.06,rests]

经正交变换到坐标平面上的任意隐函数方程。

求解

这个椭圆在平面 π:9X+2Y+3Z−10=0 上。简单的思路是，先把它正投影到该平面，然后再把该平面反射到某个坐标平面上，比如 xoy 。

大致的步骤是：

1. 求 π 上的正投影矩阵（齐次坐标表示），计算出投影之后……参数方程的形式没有发生任何变化；
2. 求 π 到 xoy 的相互反射矩阵，利用齐次坐标和Householder矩阵表示法，这个也很容易得到，从而得到 xoy 坐标平面上的参数方程，坐标的 z 项必然是 0, 否则就是你算错了；
3. 利用 Eliminate 或 GroebnerBasic 方法，对 x(t)，y(t) 进行消元，消去参数就得到了 F(x,y)=0 形式的隐函数方程；但是可能是关于 x,y 的 四次的多项式形式。它相当于求解的时候无法排除的另外一个椭圆被引入，去掉即可。
4. 用Reduce的方法化简，或者干脆对 x (或 y )求一元四次方程的符号解， xi(y)=fi(y),i=1,2,3,4 。每个符号解的表达式自然对应于一段椭圆弧曲线的隐函数方程。把两个有效的隐函数形式的表达式作为因子相乘，得到的就是拼接起来的所求的椭圆的隐函数方程。

ContourPlot[{x==1/1374106940 (1764833994+116325489 Sqrt[94]+383223186 y-56903469 Sqrt[94] y-7 \[Sqrt](370882257712465226+21496012552753644 Sqrt[94]-2437721560491300 y+734799305617824 Sqrt[94] y-39873980011335030 y^2-2840782215729132 Sqrt[94] y^2)),x==1/1374106940 (1764833994+116325489 Sqrt[94]+383223186 y-56903469 Sqrt[94] y+7 \[Sqrt](370882257712465226+21496012552753644 Sqrt[94]-2437721560491300 y+734799305617824 Sqrt[94] y-39873980011335030 y^2-2840782215729132 Sqrt[94] y^2)),x==1/16165964 (20038590+1467345 Sqrt[94]-1024722 y-792645 Sqrt[94] y-5 Sqrt[108441336840026+2474011696404 Sqrt[94]-1949543609220 y+311578887504 Sqrt[94] y-10910839196070 y^2-464210336772 Sqrt[94] y^2]),x==1/16165964 (20038590+1467345 Sqrt[94]-1024722 y-792645 Sqrt[94] y+5 Sqrt[108441336840026+2474011696404 Sqrt[94]-1949543609220 y+311578887504 Sqrt[94] y-10910839196070 y^2-464210336772 Sqrt[94] y^2])},{x,-3,7},{y,-5,5},PlotPoints->300,ImageSize->600,ContourStyle->{Red,Blue,Magenta,Green}]

最后求得的隐函数方程是：

8082982x2+3x((341574+26421594−−√)y−55(121446+889394−−√))

+9(1143967+4546594−−√)y2−60(108762+2194194−−√)y−9412594−−√−65170775=0

画出来是这样的：