统计学习方法-感知机+手写代码

前言

最近在看李航博士的《统计学习方法》在这里做一个小小的记录，写一下自己的理解 欢迎大家批评指正。

正文
感知机的直观理解
感知机应该属于机器学习算法中最简单的一种算法，其原理可以看下图：
比如说我们有一个坐标轴（图中的黑色线），横的为x1轴，竖的x2轴。图中的每一个点都是由（x1，x2）决定的。如果我们将这张图应用在判断零件是否合格上，x1表示零件长度，x2表示零件质量，坐标轴表示零件的均值长度和均值重量，并且蓝色的为合格产品，黄色为劣质产品，需要剔除。那么很显然如果零件的长度和重量都大于均值，说明这个零件是合格的。也就是在第一象限的所有蓝色点。反之如果两项都小于均值，就是劣质的，比如在第三象限的黄色点。
但是我们怎样让计算机这道这个规则呢？
我们目前知道的数据集是当前图里面的所有点的信息以及标签，也就是所有的样本的额（x1，x2），对于上面的这些点，如果我们能够找到一条合理的直线将他们完美的分开就好了，这样我们拿来一个新的样本，知道了她的两个参数就能够判断它在线的那一侧了

我们能够看到，想要把图中的两个点分开，我们有很多条线可以做到，但是怎样找到最优的那一条分割线呢？
实际上，我们的感知机没法找到一条最佳的直线，它找到的可能就是图中画出来的左右的线，但是只要是所有的点都可以分开就可以了。
因此：如果一条直线能够不分错一个点，那就是一条好的直线。

下面我们来谈一下，怎样找这条直线呢？这条直线首先是一条能够有限次分错类的一条直线。因此，我们可以 计算所有分错的点和直线的距离求和，让这个距离达到最小就是我们所要求解的直线。
感知机涉及的数学公式
因为我们做到是二分类，所以分为一正一负最好了，那这时候我们设计一个+1与一个-1正好可以完美的分为两类。
于是我们得到了一个函数：
这个sign函数的具体定义如下所示：

当自变量x不小于0的时候函数值为正1，当自变量的值小于0的时候函数值是-1.
那么，上面我们引入的wx+b是什么东西呢？
它就是那条最优的直线。我们把这个公式放在二维情况下看，二维中的直线是这样定义的：y=ax+b。在二维中，w就是a，b还是b。所以wx+b是一条直线（比如说本文最开始那张图中的蓝线）。如果新的点x在蓝线左侧，那么wx+b<0,再经过sign，最后f输出-1，如果在右侧，输出1。等等，好像有点说不通，把情况等价到二维平面中，y=ax+b，只要点在x轴上方，甭管点在线的左侧右侧，最后结果都是大于0啊，这个值得正负跟线有啥关系？emmm…其实wx+b和ax+b表现直线的形式一样，但是又稍有差别。我们把最前头的图逆时针旋转45度，蓝线是不是变成x轴了？哈哈这样是不是原先蓝线的右侧变成了x轴的上方了？其实感知机在计算wx+b这条线的时候，已经在暗地里进行了转换，使得用于划分的直线变成x轴，左右侧分别为x轴的上方和下方，也就成了正和负。
那么究竟wx+b与ax+b有什么不同呢？
在本文中使用零件作为例子，上文使用了长度和重量（x1，x2）来表示一个零件的属性，所以一个二维平面就足够，那么如果零件的品质和色泽也有关系呢？那就得加一个x3表示色泽，样本的属性就变成了（x1，x2，x3），变成三维了。wx+b并不是只用于二维情况，在三维这种情况下，仍然可以使用这个公式。所以wx+b与ax+b只是在二维上近似一致，实际上是不同的东西。在三维中wx+b是啥？我们想象屋子里一个角落有蓝点，一个角落有黄点，还用一条直线的话，显然是不够的，需要一个平面！所以在三维中，wx+b是一个平面！至于为什么，后文会详细说明。四维呢？emmm…好像没法描述是个什么东西可以把四维空间分开，但是对于四维来说，应该会存在一个东西像一把刀一样把四维空间切成两半。能切成两半，应该是一个对于四维来说是个平面的东西，就像对于三维来说切割它的是一个二维的平面，二维来说是一个一维的平面。总之四维中wx+b可以表示为一个相对于四维来说是个平面的东西，然后把四维空间一切为二，我们给它取名叫超平面。由此引申，在高维空间中，wx+b是一个划分超平面，这也就是它正式的名字。
综合来讲：wx+b对应的是n维空间中的超平面S，其中w是超平面的法向量，b是超平面的截距。这个超平面把空间划分为两个部分。位于两个部分的点就会被分为正负两类，所以超平面S也叫做分离超平面。

如何计算距离

我们从最初的要求有个f(x)，引申到能只输出1和-1的sign(x)，再到现在的wx+b，看起来越来越简单了，只要能找到最合适的wx+b，就能完成感知机的搭建了。前文说过，让误分类的点距离和最大化来找这个超平面，首先我们要放出单独计算一个点与超平面之间距离的公式，如下：hi欸
在二维空间中，我们可以认为它是一条直线，但是因为做过转化，整图旋转后wx+b是x轴，所有点到x轴的距离其实就是wx+b的绝对值。那么我们求所有的误分类点的距离和，也就是求|wx+b|的总和，让它最小化。当我们进行数值比较的时候，用更小的数值更加方便计算，因此，我们需要将整体的数值缩小n倍，但是具体是多少呢？我们的经验告诉我们化为单位长度是最好比较的，因此我们可以除以|w|，于是便可以得到上面的形式。
损失函数的定义

对于误分类的数据，例如实际应该属于正类的点，但是实际上预测成了负类。对于分错的类别，我们这时候应该加上一个负号，结果就是正的了。
，|wx+b|叫函数间隔，除模长之后叫几何间隔，几何间隔可以认为是物理意义上的实际长度，管你怎么放大缩小，你物理距离就那样，不可能改个数就变。在机器学习中求距离时，通常是使用几何间隔的，否则无法求出解。
但是上面说不考虑除以模长，就变成了函数间隔。为什么可以这么做呢？
下面给出了一种解释：感知机是误分类驱动的算法，它的终极目标是没有误分类的点，如果没有误分类的点，总和距离就变成了0，w和b值怎样都没用。所以几何间隔和函数间隔在感知机的应用上没有差别，为了计算简单，使用函数间隔。

上面就是损失函数的正式定义，在求得划分超平面得最终目标就是让损失函数最小化，如果是0得话当然是最好。

感知机使用梯度下降方法求得w和b的最优解，从而得到划分超平面wx+b。
（梯度下降算法后期会整理）
下面得例子是李航博士《统计学习方法》中得例题：

感知机学习的对偶形式

具体过程如下图：

实现代码：

#coding=utf-8
#Author:Dodo
#Date:2018-11-15
#Email:[email protected]

'''
数据集：Mnist
训练集数量：60000
测试集数量：10000
------------------------------
运行结果：
正确率：81.72%（二分类）
运行时长：78.6s
'''

import numpy as np
import time

def loadData(fileName):
    '''
    加载Mnist数据集
    :param fileName:要加载的数据集路径
    :return: list形式的数据集及标记
    '''
    print('start to read data')
    # 存放数据及标记的list
    dataArr = []; labelArr = []
    # 打开文件
    fr = open(fileName, 'r')
    # 将文件按行读取
    for line in fr.readlines():
        # 对每一行数据按切割福','进行切割，返回字段列表
        curLine = line.strip().split(',')

        # Mnsit有0-9是个标记，由于是二分类任务，所以将>=5的作为1，<5为-1
        if int(curLine[0]) >= 5:
            labelArr.append(1)
        else:
            labelArr.append(-1)
        #存放标记
        #[int(num) for num in curLine[1:]] -> 遍历每一行中除了以第一哥元素（标记）外将所有元素转换成int类型
        #[int(num)/255 for num in curLine[1:]] -> 将所有数据除255归一化(非必须步骤，可以不归一化)
        dataArr.append([int(num)/255 for num in curLine[1:]])

    #返回data和label
    return dataArr, labelArr

def perceptron(dataArr, labelArr, iter=50):
    '''
    感知器训练过程
    :param dataArr:训练集的数据 (list)
    :param labelArr: 训练集的标签(list)
    :param iter: 迭代次数，默认50
    :return: 训练好的w和b
    '''
    print('start to trans')
    #将数据转换成矩阵形式（在机器学习中因为通常都是向量的运算，转换称矩阵形式方便运算）
    #转换后的数据中每一个样本的向量都是横向的
    dataMat = np.mat(dataArr)
    #将标签转换成矩阵，之后转置(.T为转置)。
    #转置是因为在运算中需要单独取label中的某一个元素，如果是1xN的矩阵的话，无法用label[i]的方式读取
    #对于只有1xN的label可以不转换成矩阵，直接label[i]即可，这里转换是为了格式上的统一
    labelMat = np.mat(labelArr).T
    #获取数据矩阵的大小，为m*n
    m, n = np.shape(dataMat)
    #创建初始权重w，初始值全为0。
    #np.shape(dataMat)的返回值为m，n -> np.shape(dataMat)[1])的值即为n，与
    #样本长度保持一致
    w = np.zeros((1, np.shape(dataMat)[1]))
    #初始化偏置b为0
    b = 0
    #初始化步长，也就是梯度下降过程中的n，控制梯度下降速率
    h = 0.0001

    #进行iter次迭代计算
    for k in range(iter):
        #对于每一个样本进行梯度下降
        #李航书中在2.3.1开头部分使用的梯度下降，是全部样本都算一遍以后，统一
        #进行一次梯度下降
        #在2.3.1的后半部分可以看到（例如公式2.6 2.7），求和符号没有了，此时用
        #的是随机梯度下降，即计算一个样本就针对该样本进行一次梯度下降。
        #两者的差异各有千秋，但较为常用的是随机梯度下降。
        for i in range(m):
            #获取当前样本的向量
            xi = dataMat[i]
            #获取当前样本所对应的标签
            yi = labelMat[i]
            #判断是否是误分类样本
            #误分类样本特诊为： -yi(w*xi+b)>=0，详细可参考书中2.2.2小节
            #在书的公式中写的是>0，实际上如果=0，说明改点在超平面上，也是不正确的
            if -1 * yi * (w * xi.T + b) >= 0:
                #对于误分类样本，进行梯度下降，更新w和b
                w = w + h *  yi * xi
                b = b + h * yi
        #打印训练进度
        print('Round %d:%d training' % (k, iter))

    #返回训练完的w、b
    return w, b


def model_test(dataArr, labelArr, w, b):
    '''
    测试准确率
    :param dataArr:测试集
    :param labelArr: 测试集标签
    :param w: 训练获得的权重w
    :param b: 训练获得的偏置b
    :return: 正确率
    '''
    print('start to test')
    #将数据集转换为矩阵形式方便运算
    dataMat = np.mat(dataArr)
    #将label转换为矩阵并转置，详细信息参考上文perceptron中
    #对于这部分的解说
    labelMat = np.mat(labelArr).T

    #获取测试数据集矩阵的大小
    m, n = np.shape(dataMat)
    #错误样本数计数
    errorCnt = 0
    #遍历所有测试样本
    for i in range(m):
        #获得单个样本向量
        xi = dataMat[i]
        #获得该样本标记
        yi = labelMat[i]
        #获得运算结果
        result = -1 * yi * (w * xi.T + b)
        #如果-yi(w*xi+b)>=0，说明该样本被误分类，错误样本数加一
        if result >= 0: errorCnt += 1
    #正确率 = 1 - （样本分类错误数 / 样本总数）
    accruRate = 1 - (errorCnt / m)
    #返回正确率
    return accruRate

if __name__ == '__main__':

    #获取当前时间
    #在文末同样获取当前时间，两时间差即为程序运行时间
    start = time.time()

    #获取训练集及标签
    trainData, trainLabel = loadData('../Mnist/mnist_train.csv')
    #获取测试集及标签
    testData, testLabel = loadData('../Mnist/mnist_test.csv')

    #训练获得权重
    w, b = perceptron(trainData, trainLabel, iter = 30)
    #进行测试，获得正确率
    accruRate = model_test(testData, testLabel, w, b)

    #获取当前时间，作为结束时间
    end = time.time()
    #显示正确率
    print('accuracy rate is:', accruRate)
    #显示用时时长
    print('time span:', end - start)

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