数字信号处理之信号的抽取和内插

注：学这部分内容时参考了宗孔德教授的《多抽样率信号处理》教材

一、为什么需要整数倍抽取和内插：文章最后有更详细说明

      理想情况下的信号采样大部分信号是单一频率，直接设置一个固定值fs就可以。 但是对于非平稳随机信号（分布参数或者分布律随时间发生变化）来说，不同的信号段由不同的频率成分，无论低频部分是高频部分都以2fh来采样，会有大量冗余数据。因此采样率需要经常转换，高频高采样，低频低采样。

二、 信号的整数倍抽取

        当PAM信号的抽样数据量太大时,为了减少数据量以便于处理和计算,我们把抽样数据每隔D-1个取一个,这里D是一个整数。这样的抽取称为整倍数抽取,D称为抽取因子。

2.1时域表现

步骤一：对模拟信号进行普通抽样，抽样周期T1，采样频率F1=1/T1，第一次采样的频率是2Fh，所以c图过采样现象严重。

步骤二：对PAM序列x(n1T1)进行二次抽样得到序列y(n2T2)。如d图所示，两次抽样过程的关系如下：

                     T2=DT1                    公式3.1.1

                抽样近似看成x(n1T1)与一个周期序列h（n1T1）相乘，以下是时域表现图

2.2频域表现

首先，先看采样，经采样后信号的频谱变化：

T为采样间隔，D为抽取因子。根据时频关系，x(n1T1)的傅里叶变换及图如下：

 

  

      咱就是说，这张图就很好的解释了大部分数字信号处理教材说的：采样的实质是原信号频谱的周期性延拓。

     特殊符号找起来太累了，我就直接把这句话截图下来了

     根据上边这段话的意思，我们可以得到两个结论，首先采样间隔T1越大，采样后信号频谱的延拓周期2Π/T1就越小。其次在信号抽取时，抽取因子D取值越大，抽取后的信号频谱延拓周期越小。

     那么延拓周期太小的坏处是什么？从Y的频谱图就能看出来，会出现频谱混叠

所以说，为了防止PAM信号抽取后出现频谱混叠的情况，信号最高频率要满足 以下条件

                                                             

即抽取后的采样频率仍要满足奈奎斯特采样定律。

三、 信号的整数倍内插

       整数倍内插是在已知的相邻抽样点之间插入(I-1)个抽样值的点。由于这(I- 1)个抽样值并非是已知的，所以这个问题比整数倍抽取看起来要复杂一些。

     下图是信号内插的大体流程图

          

 接下来我们会从时频域来研究信号的内插

首先AD采样模块根据内插因子I（I >1）对x(n1T1)序列进行整数倍内插，经内插后的序列v(n2T2)及其频谱如下图所示。

 

 

 由图3-1可以看出，与直接以间隔T2采样的PAM序列y(n2T2)相比，v(n2T2)多出了

                                              

部分的镜像频谱。采用镜像滤波器h(n2T2)进行滤除。以下是该镜像滤波器的特性和频谱

 

四、先内插后抽取的采样方式

4.1基于滤波器特性的考虑

（1）发送端

       假如现在有一段模拟信号，最高频率为Fh，但是信号所包含的噪声频带远大于Fh，采样时若以2Fh采样，按照一般方法需要对x（t）进行模拟滤波，控制频带在0-fh。但是陡峭特性的模拟滤波器难以实现。

 

      改进：加大抽样率，根据前边所说的加大了抽样率后，信号时域间隔缩短，频谱延拓周期增加，然后通过抽取，降低数据量。（模拟滤波器想达到陡峭特性不容易，但是数字滤波器通过FIR结构很容易）如下图所示  

    首先我们用非陡峭截止特性的滤波器，滤除带外噪声

 

 加大抽样率，增加频谱延拓周期后，用数字滤波器进行滤波。

滤波后再进行抽取操作，降低数据量

这样就避开了模拟滤波器的坑

 

 

（2）接收端

         信号到达接收端，如何恢复出原信号？

1. 信号到达接收端，解码后得到序列y’(n2T2)，对序列每一个抽样值进行保持得出连续台阶型信号，再进行低通滤波滤除高频噪声
2. 对序列y’(n2T2)进行零值内插，令I—>无穷大

            要注意的是，无论是1还是2，序列都转化为连续的序列，需要模拟滤波器的过渡频带为零。和上边的情况一样不好实现。

     解决思路：先2-4倍内插后，进行低通数字滤波滤除镜像频谱，再进行DA转换后进行模拟滤波。下图将抽样率提高两倍。