小白能理解的奈奎斯特采样及延伸出的理论
一、取样定理
其实奈奎斯特采样有两种方式，一种是矩形脉冲采样，一种是冲激采样，采样方式如下图。我们在不计算数学公式的情况下来讲解，只是让大家明白是这么回事，具体为什么是这样，是有一堆公式要推导的。
1.知识准备
2.矩形脉冲采样
矩形脉冲采样图解：图上第一排表示在时域上，一个有限带宽的信号（原始信号）X 周期（周期为T）矩形脉冲信号 = 原始信号的离散型。第二排表示将第一排的信号从时域上傅里叶变换到频域上，再进行卷积（时域上的乘积等于频域上卷积）。最后卷积出的信号在频域上就出现了无数个周期性（周期为1/Ts）的、带宽（2ωm）相同、但是幅度不同的原始信号。
3.冲激采样
冲激采样图解：图上第一排表示在时域上，一个有限带宽的信号（原始信号）X 周期(周期为T)冲激信号 = 原始信号的离散型。第二排表示将第一排的信号从时域上傅里叶变换到频域上，再进行卷积（时域上的乘积等于频域上卷积）。最后卷积出的信号在频域上就出现了无数个周期性（周期为1/Ts）的、带宽（2ωm）相同、幅度相同的原始信号。
3.结论
频谱延拓：对于一个连续的信号采样，采样后的频谱相当于将采样前的频谱进行延拓，延拓的周期就是采样率。
奈奎斯特采样定律：如冲激取样卷积后的图像图示，要避免频谱出现混叠，频谱不能有重合，必须有ωs ≥ 2ωm（ωm为原始信号的最高频率）。这就得到了经典的奈奎斯特采样定律：要从抽样信号中无失真地恢复原信号，抽样频率应大于2倍信号最高频率。
在实际应用情况中，并不能实现有效的冲激取样，所以AD、DA设备的采样都是脉冲采样。
二、镜像频谱
上面我们说到频谱延拓，就我理解而言，无论是镜像频谱还是频谱的对称性，都是频谱延拓延伸出来的性质。我们通过下图来分析一下镜像频谱产生的原因。
下图3为DDS在300M主频，输出80M频率时的频谱。
我们上面说过，实际应用中的采样都是脉冲采样，所以可以看出80M信号300M采样率为周期延拓出来，幅度逐渐降低。但是220M、520M、820M又是怎样出现的呢，这里我先给出结论，这些就是原始80M信号的镜像频谱。下面我们来推导一下：s = sin(2*pi*ω*t)
原始信号s0 = sin(2*pi*80*t)（频域上的采样率就表示ω），以300M为周期进行采样T=1/f，
x0[k] = sin( 2*pi*80*(1/300*k) )（k=0、1、2……）（k的意义就是在0T上采一个点、在1T上采一个点、在2T上采一个点……）
我们把x0[k]换一种写法x0[k] = sin( 2*pi*（300-220）*(1/300*k) )
= sin( 2*pi*300*(1/300*k) - 2*pi*220*(1/300*k)）
= sin( 2*pi*k - 2*pi*220*(1/300*k)）
= - sin( 2*pi*220*(1/300*k)）
也就是说x0[k] = sin( 2*pi*80*(1/300*k) ) = - sin( 2*pi*220*(1/300*k)），看出来了吗？
再总结一下：假设一个频率是f0（令其小于fs/2），另外一个频率是fs - f0，其中fs是采样频率，则
x[k] = sin(2*pi*(fs-f0) * 1/fs * k )
= sin(2*pi*k - 2*pi*f0*1/fs*k)
= -sin(2*pi*f0*1/fs*k)
所以，fs - f0频率的sine波，与f0频率的sine波，在用fs采样率来采样的话，会得到频率相同，幅度大小相同，相位相反的序列，这就是镜像频频谱。
我们换个角度来讲：
理论上由于信号双边谱特性，有80M信号就有镜像的-80M信号，fs=300M，根据频谱拓延，向右平移一个周期，就得到如图标注的样子，在fs内，有一个80M的频谱和原-80M的频谱，-80M的频谱横坐标就是220M。个人理解也是能解释为什么会有镜像频谱。
三、带通采样
为什么要用带通采样定理呢？按理说，奈奎斯特采样定理不是通吃一切吗？话虽如此，奈奎斯特说，只要采样率不小于信号最高频率的2倍，采样后的信号就能能够准确恢复。
可事实上，有很多行不通的地方，并不是说理论行不通，而是器件做不到，对于频带信号（带通信号）而言，例如天线发出的信号以及接收的信号，可以说都是频带信号，因为频带信号便于传输，这些信号的频率随着时代的进步，也越来越大，电磁信号向着GHz甚至数十GHz发展，如果再用奈奎斯特采样定理采样，如此之高的采样率ADC恐怕难以做到吧。
1.带通采样原理
我们来看下图（双边谱图）：
图解：（a）是原始信号频谱，（b）是经过频谱拓延后的频谱。我们上面结论里提到的频谱拓延一个重要的参数就是延拓的周期，也就是采样率fs，记住这点。
（b）中，在我们不知道fs具体是多少的情况下，也就是fs可以是任意值时，频谱可以随意拓延，但是随意拓延会造成频谱混叠，我们要恢复原始信号就不能有频谱混叠的现象出现，所以有式（3-4）的规定：负频域的频谱频移m次后，不能与原始信号混叠（不与原始信号混叠也就不会与原始信号的频移频谱混叠，你可以画图举个具体的例子自己看一下），那就有-fH + mfs ≥ fH。你的上一次（m-1）频谱频移也不能与原始信号混叠，那就有 -fL + (m-1)fs ≤ fL。整理后得到式（3-5）。
式（3-6）中 fH/B 计算最多可以向0频处进行多少次频移，因为采用带宽采样为的是降低采样率，越靠近0频，采样率越低（单看正半轴上的频谱就可以，最终要保证采样率落在正半轴上）。
2.如何确定带通采样后的频谱中心位置，以进行下变频
设采样率fs，信号中心f0，信号带宽上下限fh,fl。有2种情况，
A fs
假设f0= 2.75G, fh=2.5,fl=3,根据上图公1<=m<=6，例如去m=3,得2<=fs<=2.5，取fs = 2G,其带通采样后的频谱如图2所示，可以看到通过对称、周期延拓性质，离零频最近的信号中心为0.75G=f0-fs。因此设置ADC的下变频NCO = 0.75G。
图2 fs B fs>f0 假设f0= 2.75G, fh=2.5,fl=3,根据上图公1<=m<=6，例如去m=2,得3<=fs<=5，取fs = 3G,其带通采样后的频谱如图3, 图3 fs>f0
可以看到通过对称、周期延拓性质，离零频最近的信号中心为0.25G=fs-f0（不过是镜像频率）。因此设置ADC的下变频NCO = 0.25G。
总结：带通采样后的信号中心频率F = |fs-f0|。我们应尽在ADC采样范围内尽可能将采样率取高些，且采样率最好是有用信号带宽的整数倍，这样便于抽取滤波。