概率论的学习和整理12： 正态分布

1 问题： 什么是正态分布，为什么这么出名和重要？

1.1 名气大

• 正态分布的大名，如雷贯耳
• 很多人一说到概率，除了想到丢骰子的古典概型，第二个会想到的就是正态分布了
• 下图就是正态分布和标准正态分布曲线的图

• 甚至大部分有区分度的考试（选拔筛选考试，而不是资格水平考试）
• 学生成绩没呈现正态分布，可以说是试卷出卷和教学有问题

1.2 正态分布从哪儿来？ 谁发明的？

名字：

• 正态分布（Normal distribution）
• 正常分布！一般的分布，完全可以这么翻译
• 高斯分布（Gaussian distribution）
• 钟形曲线  (bell curve)

• 正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个极其常见的连续概率分布。因为正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
• 高斯、拉普拉斯、棣莫弗、勒让德很多大神的作用一步步发展而来，高斯是发明了最小二乘方法
• 正态分布最初是从二项分布发展而来的，二项分布的pmf确实很像正态分布
• 后来推广到其他概率分布，当样本量极大时接近无限，所有的分布都可以认为趋向于正态分布？
• 哪些情况可以用正态分布？一般来说，据说是只要是针对同一类型的变量的试验，次数足够大的情况，都会趋向正态分布的

1.3 正态分布是概率论，还是统计？

• 我觉得更多的是统计学
• 因为都是从观测的数据，去反推这些数据服从什么  随机变量--概率的规律--也就是  概率密度曲线pdf，也就是概率的分布！

2 正态分布的基本概念内容介绍

2.1  正态分布

• 正态分布，
• 正态分布概率函数 
• f(x)=[1/(√2π)δ]*e^[-(x-u)^2/2(δ^2)] 

• 正态分布的平均值  u，是理想的假设知道所有值之后的算术平均值？
• 正态分布的期望？ 就是均值吧

• 正态分布的标准差  δ=np(1-p)
• 正态分布的方差？ 就是标准差的平方吧 δ^2

2.2 标准正态分布

• 正态分布概率函数 f(x)=[1/(√2π)δ]*e^[-(x-u)^2/2(δ^2)]
• 当u=0,δ=1 时，就是标准正态分布
• 标准正态分布的概率公式更简洁

2.3 正态分布曲线  和 各种标准的意思

• 第1置信区间： [-δ,δ] 之间，68.3%
• 第2置信区间： [-2δ,2δ] 之间，95.4%
• 第3置信区间： [-3δ,3δ] 之间，99.7%

2.4 正态分布的特点

• 3个置信区间的
• 第1置信区间： [-δ,δ] 之间，68.3%
• 第2置信区间： [-2δ,2δ] 之间，95.4%
• 第3置信区间： [-3δ,3δ] 之间，99.7%
• 平均值就是期望
• 极端值很少，在 [-3δ,3δ] 之外的数很少
• 标准差小，则数据集中，钟形曲线瘦高个，如果是标准差大，那么钟形曲线就扁和矮。

2.5 正态分布的推论

• 正态分布变量的和，一般也是正态分布
• 正态分布相加，一般期望就等于2者期望之和，标准差等于2者标准差之和
• 也就是正态分布相加，正态分布会变扁（因为标准差是求和变大了！越大越扁）
• 正态分布还和柯西分布，k2分布有关系

3 哪些情况符合正态分布呢？

3.1 正态分布的适用范围

• 正态分布，名字叫正常分布，适用面积非常的广
• 常见的正态分布举例，比如WHO统计的儿童身高体重不就是正态分布的3个区间的数字么
• 也就是一般就看 [-2δ,2δ] 之间，95.4% 就够了

3.2 哪些情况适合正态分布呢？

正态分布最初是从二项分布发展而来的，二项分布的pmf确实很像正态分布，后来推广到其他概率分布，当样本量极大时接近无限都可以认为趋向于正态分布？

哪些情况可以用正态分布？一般来说，据说是只要是针对同一类型的变量的试验，次数足够大的情况，都会趋向正态分布的

• 正态分布，从离散的二项分布出发
• 但是正态分布本身是一种连续分布
• 正态分布是连续的，意味着单个点的概率p=0，只能关注区间概率
• 哪些情况可以用正态分布？
• 一般来说，据说是只要是针对同一类型的变量的试验，次数足够大的情况，都会趋向正态分布的，也就是正态分布具有普适性。。。

• 生活中到处都是正态分布，试验次数很多的结果
• 人们认为正态分布完美地诠释了讲到的“同质”和“变异”这两个概念。
• 正是因为我们研究的对象具有同质性，所以其特征往往是趋同的，也即存在一个基准（均数），但由于个体变异的存在，这些特征又不是完全一致，

几个关键点

• 只要是针对同一类型的变量的试验，这个说法，意味着一般是类伯努利试验，每次试验之间是独立的，互不影响
• 也就是说这些随机元素，影响因素之间要独立
• 而且一般说，影响的因素要比较多
• 这些随机元素对结果的影响，一般是使用加法原理，用加和的方法求得。也就是这些因素对完成随机试验的结果，是并行的关系。
• 举例子，用身高举例，遗传因素，环境因素，饮食因素，锻炼因素都是独立的（或者相关程度很低，不是强相关），他们对身高的影响都是可以用加法原理加和的。这样的就符合正态分布

3.3 哪些不适合正态分布呢？

• 随机元素之间，不是独立的，而是有互相影响则可能不正态分布
• 如果一些因素作用还可能有前后步骤，乘法原理的关系，就可能不是正态分布
• 如果影响的因素毕竟少，不多，原因太单一可能不是正态分布

 

 

 

正态分布变成标准正态分布

我能不能理解标准化就是把图形σ倍缩小然后移动μ个位置啊

 

 

 

4  为什么呢？

4.1 极大似然估计

4.2 中心极限定理

4.3 最小二乘法

样本足够大则近似认为服从正态分布

样本量一般至少要超过30才可以认为可以近似正态分布

5 具体例题举例，还需要查表

查表

6 另外几个分布

• k2分布
• f分布
• t分布等等

7  一些有趣的研究

• 牛人们根据这个研究出，不同XX的人组合，就是正态分布的叠加，因此标准差会变大。。。。
• 第一次看到这种角度，理解他们的想法了，脑洞好大啊