快速排序超详细讲解C语言

快速排序是由东尼·霍尔所发展的一种排序算法。在平均状况下，排序 n 个项目要 Ο(nlogn) 次比较。在最坏状况下则需要 Ο(n2) 次比较，但这种状况并不常见。事实上，快速排序通常明显比其他 Ο(nlogn) 算法更快，因为它的内部循环（inner loop）可以在大部分的架构上很有效率地被实现出来。

快速排序使用分治法（Divide and conquer）策略来把一个串行（list）分为两个子串行（sub-lists）。

快速排序又是一种分而治之思想在排序算法上的典型应用。

基本思想

对于待排序序列，使用某种划分方法排好一个值key，使得key前面的所有值都比key小，key后面的所有值都比key大（升序），从而以key为界限分成了左右两个待排序的子序列，然后分别对子序列进行上述步骤。

框架分为两种：递归和非递归

某种划分方法分为三种：Hoare、挖坑法、前后指针法

递归版本

void QuickSort(int* a, int left, int right){
	if(left >= right){
        return;
    }
	//对待排序序列使用划分方法，得到基准值的下标keyi
	int keyi = QuickSortPart(a, left, right);//划分有三种方法
	// 划分成功后以keyi为边界形成了左右两部分 [left, keyi - 1] 和 [keyi + 1, right]
	// 递归排[left, keyi - 1]
	QuickSort(a, left, keyi - 1);
	// 递归排[keyi + 1, right]
	QuickSort(a, keyi + 1, right);
}

非递归版本

递归的本质实际就是在控制待排序序列的区间，而非递归版本就是用栈模拟递归去保存和使用待排序序列的区间

//使用栈的前序遍历模拟递归
void QuickSortNoR(int* a, int left, int right){
	Stack obj;
    StackInit(&obj);
    StackPush(&obj, right);//将待排序序列的左右区间入栈
    StackPush(&obj, left);
    while(!StackEmpty(&obj)){
        int left = StackTop(&obj);//取出待排序序列的左右区间
        StackPop(&obj);
        int right = StackTop(&obj);
        StackPop(&obj);
        int keyi = QuickSortPart(a, left, right);//排序区间内的数据，得到基准值的下标keyi
        StackPush(&obj, right);//将基准值右边的区间入栈
        StackPush(&obj, keyi + 1);
        StackPush(&obj, keyi - 1);//将基准值左边的区间入栈
        StackPush(&obj, left);
    }
    StackDestroy(&obj);
}

Hoare法

算法步骤

1. 从数列中选出一个基准值（key），一般为数列的第一个元素
2. 从后往前遍历挑出比key小的值，停下；从前往后遍历挑出比key大的值，停下；然后交换这两个值
3. 继续从后往前遍历……从前往后遍历……交换，直到左边和右边相遇记录为meeti，此时交换key和meeti的值
4. 返回相遇位置meeti，从而完成分区。

动图演示

代码实现

int QuickSortPart(int* a, int left, int right){
    int keyi = left;
    while(left < right){
        while(left < right && a[right] >= a[keyi]){
            right--;
        }
        while(left < right && a[left] <= a[keyi]){
            left++;
        }
        if(left < right){
            Swap(&a[left], &a[right]);
        }
    }
    int meeti = left;
    Swap(&a[keyi], &a[meeti]);
    return meeti;
}

Hoare法必须先从右边开始走

因为只有先从右边开始走，才能够保证相遇位置meeti比keyi的值小，原因如下：

1. 左边去相遇右边时，由于右边先停，而右边停的条件是值小于key，所以此时相遇点的值小于key
2. 右边去相遇左边时，左边此时是上一次交换之后的位置，此时的左边位置的值是小于key的，所以相遇点的值小于key

挖坑法

算法步骤

1. 从数列中选出一个基准值（key），一般为数列的第一个元素，将基准值key取出，把该位置记录成一个坑hole
2. 从后往前寻找比key小的值，然后将该值填入hole中，该值的原位置记录为新的hole
3. 从前往后寻找比key大的值，然后将该值填入hole中，该值的原位置记录为新的hole
4. 直到前后位置相遇，将key填入hole中，返回hole即可完成分区

动图演示

代码实现

int QuickSortPart(int* a, int left, int right){
    int key = a[left];
    int hole = left;
    while(left < right){
        while(left < right && a[right] >= key){
            right--;
        }
        a[hole] = a[right];
        hole = right;
        while(left < right && a[left] <= key){
            left++;
        }
        a[hole] = a[left];
        hole = left;
    }
    a[hole] = key;
    return hole;
}

前后指针法

算法步骤

1. 从数列中选出一个基准值（key），一般为数列的第一个元素
2. 前指针cur和后指针prev从前往后遍历，cur一直移动，当遇到小于key的值时，prev才往前移动，如果cur和prev不相等则交换两值（cur和prev之间有两种状态，要么prev和cur紧贴之间无数据，要么prev和cur之间有数据并且该数据是大于key的）
3. 当cur遍历完之后，prev之前的数据全部小于prev，之后的数据全部大于prev，于是就从prev为界限分区了，此时返回prev

动图演示

代码实现

int QuickSortPart(int* a, int left, int right){
    int keyi = left;
    int prev = left;
    int cur = left + 1;
    while(cur <= right){
        if(a[cur] < a[keyi] && ++prev != cur){
            Swap(&a[prev], &a[cur]);
        }
        cur++;
    }
    Swap(&a[keyi], &a[prev]);
    return prev;
}

快速排序的两种优化方法（可合并使用）

优化一：

快速排序最理想的状态也就是最优的时间复杂度为$O(N\ast lo{g}^N)$，而达到这一目的的最好的情况是每次分区时，都几乎是从中间分区的，这样才能够达到把$N$个数据分为$lo{g}^N$层，而如果当待排序序列是有序时，则快速排序会把$N$个数据分为$N$层，就会使得时间复杂度变为$O(N^2)$，这是非常糟糕的，所以为了减少这种情况，出现了一个优化函数。

该函数的功能是取到序列的第一个数、中间的数、最后一个数，然后比较大小，返回大小为中间的那个数的下标。

下一步就是将该下标的值与序列的第一个值交换，这样就会造成，假设之前的序列是有序的，而现在的序列的第一个值会是序列中间的那个值，从而以该值为key分区时能够减少只分出一个区的情况，即减少把N个数据分为N层的情况。

int GetMidIndex(int* a, int begin, int end){
    int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
    if(a[begin] <= a[mid]){
        if(a[mid] <= a[end]){
            return mid;
        }
        else if(a[begin] <= a[end]){
            return end;
        }
        else{
            return begin;
        }
    }
    else{
        if(a[begin] <= a[end]){
            return begin;
        }
        else if(a[mid] <= a[end]){
            return end;
        }
        else{
            return mid;
        }
    }
}

该函数这样使用（以Hoare法举例）

int QuickSortPart(int* a, int left, int right){
    int mid = GetMidIndex(a, left, right);
    Swap(&a[left], &a[mid]);
    //上面是优化，其它两种分区方法也是这样使用优化
    int keyi = left;
    while(left < right){
        while(left < right && a[right] >= a[keyi]){
            right--;
        }
        while(left < right && a[left] <= a[keyi]){
            left++;
        }
        if(left < right){
            Swap(&a[left], &a[right]);
        }
    }
    int meeti = left;
    Swap(&a[keyi], &a[meeti]);
    return meeti;
}

优化二：

快速排序的理想状态就是将$N$个数据分成$lo{g}^N$层，达到近似完全二叉树的形状，而完全二叉树的最后三层递归将会达到整个递归过程中的87.5%，而最后的三层递归也就最多只有8个数据，与其让这8个数据递归这么多次还不如直接进行插入排序，这样将会减少巨额的递归次数，从而优化排序的速度。

void QuickSort(int* a, int left, int right){
	if(left >= right){
        return;
    }
	if(right - left + 1 <= 8){//当数据小于等于8时，不再进行递归了，改为插入排序
        Insert(a + left, right - left + 1);
    }
    else{//当数据量大于8时，才去递归
        int keyi = QuickSortPart(a, left, right);
		QuickSort(a, left, keyi - 1);
		QuickSort(a, keyi + 1, right);
    }
}

复杂度、稳定性分析

1. 时间复杂度

   最优时间复杂度$O(N\ast lo{g}^N)$

   最差时间复杂度$O(N^2)$

2. 空间复杂度

   最优空间复杂度$O(lo{g}^N)$

   最差时间复杂度$O(N)$

   递归主要消耗在栈空间，非递归主要消耗在堆上

3. 稳定性

   快速排序是不稳定的