一、基础算法 -- 归并排序

题目描述

给定你一个长度为 $n$ 的整数数列。

请你使用归并排序对这个数列按照从小到大进行排序。

并将排好序的数列按顺序输出。

输入格式

输入共两行，第一行包含整数 $n$。

第二行包含 $n$ 个整数（所有整数均在 $1\sim 10^9$ 范围内），表示整个数列。

输出格式

输出共一行，包含 $n$ 个整数，表示排好序的数列。

数据范围

$1\le n\le 100000$

输入样例：

5
3 1 2 4 5

输出样例：

1 2 3 4 5

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算法

(分治法)

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算法步骤：

1. 判断递归的中止情况
2. 把大问题分成小问题
3. 递归处理子问题
4. 合并子问题

算法模板：

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
	//递归的终止情况
    if (l >= r) return;
	//第一步：分成子问题
    int mid = l + r >> 1;
    //第二步：递归处理子问题
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);
	//第三步：合并子问题
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    // tmp 保存的是 q[l..mid] , q[mid+1..r] 中从小到大排序的所有数
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
}

时间复杂度 $O(nlogn)$

算法需要递归，第一层是 2 分， 第二层是 4 层， 然后 一直 分，总共有 $logn$ 层， 每一层是 $O(n)$ ，所以总共的时间复杂度为 $O(nlogn)$

C++ 代码

#include 

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int a[N], tmp[N];

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;

    int mid = l + r >> 1;

    merge_sort(q, l, mid), merge_sort(q, mid + 1, r);

    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);

    merge_sort(a, 0, n - 1);

    for (int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%d ", a[i]);

    return 0;
}