PTA数据结构与算法-第五章——树与二叉树

文章目录

  • 第一章——褚论
  • 第二章——线性表
  • 第三章——栈与队列
  • 第四章——字符串
  • 第五章——树与二叉树
  • 第六章——图
  • 第七章——排序
  • 第八章——检索
    • 判断题
    • 单选题
    • 程序填空题


第一章——褚论

第二章——线性表

第三章——栈与队列

第四章——字符串

第五章——树与二叉树

第六章——图

第七章——排序

第八章——检索


判断题

1-2
设只包含根结点的二叉树高度为0,则高度为k的二叉树最小结点数为k+1。
T 举例子即可证明正确


1-3
关于树和二叉树
二叉树是度为 2 的树。

F

二叉树的度是指树中所有结点的度数的最大值。二叉树的度小于等于2,因为二叉树的定义要求二叉树中任意结点的度数(结点的分支数)小于等于2 。


1-4
具有10个叶结点的二叉树中,有9个度为2的结点。
T
n0=n2+1


1-5
在含有n个结点的树中,边数只能是n-1条。
T


1-6
完全二叉树中,若一个结点没有左孩子,则它必是树叶。
T 根据完全二叉树的性质可以得出。


1-7
在任意一棵二叉树中,分支结点的数目一定少于叶结点的数目。
F


1-8
二叉树是一种特殊的树。
F
解析:

二叉树不是一种特殊的树,二叉树可以为空,树不能为空。
树和二叉树的2个主要差别:
1、树中结点的最大度数没有限制,而二叉树结点的最大度数为2;
2、树的结点无左、右之分,而二叉树的结点有左、右之分。……

注意:尽管二叉树与树有许多相似之处,但二叉树不是树的特殊情形。


1-9
二叉树只能用二叉链表表示。
F


1-10
树形结构中元素之间存在一个对多个的关系。
T


1-11
某二叉树的前序和中序遍历序列正好一样,则该二叉树中的任何结点一定都无左孩子。
T
解析
前序遍历tLR,遇到每一个结点,现访问当前结点的data域,再访问左子树,再访问右子树,重复上述过程。
中序遍历LtR,遇到每一个结点,先访问左子树,直到叶结点,再访问叶结点的data域,再访问右子树,重复上述过程。
故想要前序和中序遍历序列一样,易得出该二叉树中的任何结点一定都无左孩子。


1-13
若一个结点是某二叉树的中序遍历序列的最后一个结点,则它必是该树的前序遍历序列中的最后一个结点。
F
中序遍历:LtR
前序遍历:tLR
若该树任何结点都无右孩子,很容易判断是F


1-14
某二叉树的后序和中序遍历序列正好一样,则该二叉树中的任何结点一定都无右孩子。
T
解析:
后序遍历:LRt
中序遍历:LtR
若该二叉树中的任何结点都无右孩子,去掉R
两种遍历变成:都变成LR;正确


1-16
若A和B都是一棵二叉树的叶子结点,则存在这样的二叉树,其前序遍历序列为…A…B…,而中序遍历序列为…B…A…。
F
先序中序后序是对根结点而言,叶子结点的顺序保持不变。


1-18
将一棵完全二叉树存于数组中(根结点的下标为1)。则下标为23和24的两个结点是兄弟。
F
解析:
根结点为n的左孩子为2n,右孩子为2n+1.
故23和24不可能是兄弟。


1-19
一棵有124个结点的完全二叉树,其叶结点个数是确定的。
T
解析:

  • 二叉树的所有结点数应该为度分别为0,1,2的结点数的总和。
  • 度为0的结点时叶结点;
  • 度为2的结点+1=度为0的结点

n1+n2+n0=124;
n2+1=n0;
将下式代入上式可得2n2+n1=123
由完全二叉树的性质可得:n1为0或1
显然,若n1为0,n2=61.5(不是整数不符合条件)
所以n1为1,n2=61,n0=62;确定。


1-22
非空的二叉树一定满足:某结点若有左孩子,则其中序前驱一定没有右孩子。
T
解析:
所谓中序遍历就是左子树、根、右子树 设某结点为A,它的中序前驱是B 按照正常中序遍历的次序中,如果B有右子树,则B遍历完了后会遍历其右子树,而不是马上遍历A,但是现在是B遍历完了就是A,因此: 某结点如果有左孩子,则其中序前驱一定没有右孩子


1-24
用链表(llink-rlink)存储包含n个结点的二叉树,结点的2n个指针区域中有n-1个空指针。
F
解析:
n个结点的二叉树一共有2n个指针域。**非空指针数等于树的边数(n-1)。**所以空指针数等于2n-(n-1)=n+1


1-26
哈夫曼编码是一种最优的前缀码。对一个给定的字符集及其字符频率,其哈夫曼编码不一定是唯一的,但是每个字符的哈夫曼码的长度一定是唯一的。
F
哈夫曼编码一定是唯一的


1-27
在哈夫曼编码中,当两个字符出现的频率相同时,其编码也相同,对于这种情况应特殊处理。
F
当两个字符出现频率相同时,其编码不相同。


1-28
哈夫曼树的结点个数不能是偶数。
T


1-29
哈夫曼树是带权路径长度最短的树,路径上权值较大的结点离根较近。
F
解析:哈夫曼树是带权路径长度最短的二叉树


1-32
完全二叉树中,若一个结点没有左孩子,则它必是树叶。
T


1-33
一棵有9层结点的完全二叉树(层次从1开始计数),至少有255个结点。
F
解析:9层全部满的情况下共有29-1-1=28-1=256-1=255个结点。此时是一棵9层的满二叉树,而题目中说的是完全二叉树,所以应该为至多255个结点。


1-34
完全二叉树一定存在度为1的结点。
F
解析:当该完全二叉树为满二叉树时便不存在度为1的结点。


1-35
完全二叉树中,若一个结点没有左孩子,则它必是树叶。
T
根据完全二叉树的性质易得。


1-36
在一棵由包含4、5、6等等一系列整数结点构成的二叉搜索树中,如果结点4和6在树的同一层,那么可以断定结点5一定是结点4和6的父亲结点。
F


1-38
如果完全二叉树从根结点开始按层次遍历的输入序列为1,2,3,4,5,6,7,则该完全二叉树是二叉排序树。
F


1-39
对两棵具有相同关键字集合而形状不同的二叉排序树,按中序遍历它们得到的序列的顺序却是一致的。
T
首先介绍什么是二叉树:
二叉排序树或者是一棵空树,或者是具有下列性质的二叉树:
(1)若左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;
(2)若右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;
(3)左、右子树也分别为二叉排序树;
(4)没有键值相等的节点。
中序遍历它以后,也就是 排成 从小到大的顺序 , 所以得到的序列的顺序却是一致的 。


1-40
在二叉排序树中,每个结点的关键字都比左孩子关键字大,比右孩子关键字小。
T


1-41
在二叉排序树中,新结点总是作为树叶来插入的。
T


1-42
二叉排序树的查找效率和二叉排序树的髙度有关
T


单选题

2-1树最适合于用来表示

有序数据元素
无序数据元素
元素之间无联系的数据
元素之间具有分支层次关系的数据


2-3
设每个d叉树的结点有d个指针指向子树,有n个结点的d叉树有多少空链域?

nd
n(d−1)
n(d−1)+1
以上都不是
分析:
每个d叉树的结点有d个链域(就是d条边,每个结点不满d条边的,少几条边就几个空链域)
应该具有边的条数:nd
现有边的条数:n-1
空链域个数:nd-(n-1)= n(d−1)+1


2-5
在下述结论中,正确的是:
① 只有2个结点的树的度为1;
② 二叉树的度为2;
③ 二叉树的左右子树可任意交换;
④ 在最大堆(大顶堆)中,从根到任意其它结点的路径上的键值一定是按非递增有序排列的。

①④
②④
①②③
②③④


2-6
如果一棵非空k(k≥2)叉树T中每个非叶子结点都有k个孩子,则称T为正则k叉树。若T有m个非叶子结点,则T中的叶子结点个数为:
mk
m(k−1)
m(k−1)+1
m(k−1)−1


2-9
一棵二叉树中,双分支结点数为15,单分支结点数为30,则叶子结点数为()个。

15
16
17
47
根据二叉树的性质3,叶结点数n0与度为2的结点数n2的关系是:n0=n2+1。


2-11
深度为6的二叉树最多有( )个结点。

64
63
32
31
解析:26-1=63;


2-16
一个具有1025个结点的二叉树的高h为( )个。
11
10
11至1025之间
10至1024之间


2-20
若将一棵树 T 转化为对应的二叉树 BT,则下列对 BT 的遍历中,其遍历序列与 T 的后根遍历序列相同的是:

先序遍历
中序遍历
后序遍历
按层遍历
解析:
一棵树的后根遍历与这棵树所对应的二叉树的中序遍历相同。因为树转化为二叉树后是没有右子树的,所以最后访问的是树的根结点。


2-21
对 n 个互不相同的符号进行哈夫曼编码。若生成的哈夫曼树共有 115 个结点,则 n 的值是:
56
57
58
60
解析:
哈夫曼树的特点性质:(节点为的度数为0 表示 n0,以此类推)
①哈夫曼树中只存在度为2和度为0的节点,及n1=0。
②哈夫曼树中,度为0和度为2的节点关系:n2=n0-1

由以上两个性质,本题就很好解出答案:
n0+n2=115 =>
n0+n0-1=115 =>
n0=(115+1)/2=58


-24
对于图所示二叉树,试给出:
PTA数据结构与算法-第五章——树与二叉树_第1张图片

它的顺序存储结构

ABCDEF ^ ^ ^ G ^ ^H
ABD^ ^ EG ^ ^ ^ CF^H
DBGE ^ A^ FHC
DGE ^ B ^ HFC^A


2-25
利用二叉链表存储树,则根结点的右指针是( )。

指向最左孩子
指向最右孩子

非空

解析:
二叉链表根节点的左指针指向树的根节点,右指针指向树的根节点的兄弟。
树的根节点没有兄弟,因此为空。

扩展:

树的二叉链表: 孩子兄弟表示法
顺序表示法:树的双亲表示法
链接表表示法: 树的孩子表示法
单链表表示法:孩子链表表示法
双孩子表示法:二叉树的二叉链表
三叉链表加了双亲指针


2-26
在下列存储形式中,( )不是树的存储形式。

双亲表示法
孩子链表表示法
孩子兄弟表示法
顺序存储表示法


2-31
在一棵度为 3 的树中,度为 2 的结点个数是 1,度为 0 的结点个数是 6,则度为 3 的结点个数是 __

2
3
4
无法确定
解析:
树中结点总数是n0+n1+n2+n3-----①
所有边的总数为0 * n0+1 * n1+2*n2+3 * n3-----②
树中结点比边多一:①-②=1
可以得到n0=1+n2+2 *n3
代入n2=1,n0=6
可以得到n3=2


2-32
对于任意一棵高度为 5 且有 10 个结点的二叉树,若采用顺序存储结构保存,每个结点占 1 个存储单元(仅存放结点的数据信息),则存放该二叉树需要的存储单元的数量至少是:
31
16
15
10
解析:因为是顺序存储结构保存,所以需要的存储单元是给定高度的全部结点都要考虑。
高度为5的满二叉树共有:
25-1=31个结点
31*1个存储单元=31;


2-15
某二叉树的中序序列和后序序列正好相反,则该二叉树一定是

空或只有一个结点
高度等于其结点数
任一结点无左孩子
任一结点无右孩子
解析:
中序遍历LtR
后序遍历LRt
正好相反,去掉L分别为tR,Rt
即:任一结点无左孩子


2-19
如果二叉树的后序遍历结果是FDEBGCA,中序遍历结果是FDBEACG,那么该二叉树的前序遍历结果是什么?
ABCDEFG
ABDFEGC
ABDFECG
ABDEFCG


2-23
设n、m为一棵二叉树上的两个结点,在中序遍历时,n在m前的条件是

n在m左方
n在m右方
n是m祖先
n是m子孙


2-30
将 {28, 15, 42, 18, 22, 5, 40} 逐个按顺序插入到初始为空的最小堆(小根堆)中。则该树的前序遍历结果为:

5, 18, 15, 28, 22, 42, 40
5, 15, 18, 22, 28, 42, 40
5, 18, 28, 22, 15, 42, 40
5, 15, 28, 18, 22, 42, 40


2-34
将{5, 2, 7, 3, 4, 1, 6}依次插入初始为空的二叉搜索树。则该树的后序遍历结果是:

1, 2, 3, 4, 6, 7, 5
1, 4, 2, 6, 3, 7, 5
1, 4, 3, 2, 6, 7, 5
5, 4, 3, 7, 6, 2, 1


2-35
将 {5, 2, 7, 3, 4, 1, 6} 逐个按顺序插入到初始为空的最小堆(小根堆)中。则该树的前序遍历结果为:

1, 3, 2, 5, 4, 7, 6
1, 2, 3, 4, 5, 7, 6
1, 2, 5, 3, 4, 7, 6
1, 3, 5, 4, 2, 7, 6


2-39
将{ 3, 8, 9, 1, 2, 6 }依次插入初始为空的二叉搜索树。则该树的后序遍历结果是:

2, 1, 3, 6, 9, 8
1, 2, 8, 6, 9, 3
2, 1, 6, 9, 8, 3
1, 2, 3, 6, 9, 8


2-42
二叉树的中序遍历也可以循环地完成。给定循环中堆栈的操作序列如下(其中push为入栈,pop为出栈):

push(1), push(2), push(3), pop(), push(4), pop(), pop(), push(5), pop(), pop(), push(6), pop()
以下哪句是对的?

6是根结点
2是4的父结点
2和6是兄弟结点
以上全不对
PTA数据结构与算法-第五章——树与二叉树_第2张图片


2-46
要使一棵非空二叉树的先序序列与中序序列相同,其所有非叶结点须满足的条件是:

只有左子树
只有右子树
结点的度均为1
结点的度均为2

解析:
先序序列:tLR
中序序列:LtR
要使它们相同,去掉L即可。所以只有右子树


2-47
已知一棵二叉树的树形如下图所示,其后序序列为{ e, a, c, b, d, g, f }。树中与结点a同层的结点是:

在这里插入图片描述
c
d
f
g


2-27
设一段文本中包含字符{a, b, c, d, e},其出现频率相应为{3, 2, 5, 1, 1}。则经过哈夫曼编码后,文本所占字节数为:

40
36
25
12
PTA数据结构与算法-第五章——树与二叉树_第3张图片
文本所占字节数:每个字符对应出现频率×路径长度之和。
即:1x4+1x4+3x2+3x2+5x1=25


2-28
设一段文本中包含4个对象{a,b,c,d},其出现次数相应为{4,2,5,1},则该段文本的哈夫曼编码比采用等长方式的编码节省了多少位数?

0
2
4
5
解析:
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PTA数据结构与算法-第五章——树与二叉树_第5张图片


2-29
由分别带权为9、2、5、7的四个叶子结点构成一棵哈夫曼树,该树的带权路径长度为:

23
37
44
46
PTA数据结构与算法-第五章——树与二叉树_第6张图片
9x1+2x7+3x2+3x5=44


已知字符集{ a, b, c, d, e, f, g, h }。若各字符的哈夫曼编码依次是 0100, 10, 0000, 0101, 001, 011, 11, 0001,则编码序列 0100011001001011110101 的译码结果是:

acgabfh
adbagbb
afbeagd
afeefgd

解析:
0100 011 001 001 011 11 0101
a------f------e----e----f-----g-----d


2-37
在一个用数组表示的完全二叉树中,如果根结点下标为1,那么下标为17和19这两个结点的最近公共祖先结点在哪里(数组下标)? (注:两个结点的“公共祖先结点”是指同时都是这两个结点祖先的结点)

8
4
2
1
解析:
处于 i 处结点的父节点一定为 [i / 2] (小于 i / 2的最大整数) 的结点 , 因此17, 19不断除以二,直至相等。
①17 / 2 = 8, 19 / 2 = 8;
②8 / 2 = 4, 8 / 2 = 4。


2-38
具有1102个结点的完全二叉树一定有__个叶子结点。

79
551
1063
不确定

解析:
n0+n1+n2=1102
n0=n2+1
n1=0或1
联立得:
2n0+n1=1103
若n1=0,n0解不出正整数,所以排除。n1只能为1
故n0=551;


程序填空题

5-1
下列代码的功能是将二叉树T中的结点按照层序遍历的顺序输出。

typedef struct TreeNode *Tree;
struct TreeNode
{
   int Key;
   Tree  Left;
   Tree  Right;
};

void Level_order ( Tree T )
{
   Queue Q;

   if ( !T ) return; 
   Q = CreateQueue( MaxElements ); 
   Enqueue( T, Q ); 
   while ( !IsEmpty( Q ) ){
      T = Front_Dequeue ( Q ); /* return the front element and delete it from Q */
      printf("%d ", T->Key);
      if ( T->Left ) 
         
Enqueue( T->Left, Q )
;
      if ( 
T->Right
 ) 
         
Enqueue( T->Right, Q )
;
   }
}

Enqueue( T->Left, Q )
T->Right
Enqueue( T->Right, Q )


5-2
下列代码的功能是计算给定二叉树T的宽度。二叉树的宽度是指各层结点数的最大值。函数Queue_rear和Queue_front分别返回当前队列Q中队尾和队首元素的位置。

typedef struct TreeNode *BinTree;
struct TreeNode
{
   int Key;
   BinTree  Left;
   BinTree  Right;
};

int Width( BinTree T )
{
   BinTree  p;
   Queue Q;
   int Last, temp_width, max_width;

   temp_width = max_width = 0;
   Q = CreateQueue(MaxElements);
   Last = Queue_rear(Q);
   if ( T == NULL) return 0;
   else {
      Enqueue(T, Q);
      while (!IsEmpty(Q)) {
         p = Front_Dequeue(Q); 
         
temp_width++
; 
         if ( p->Left != NULL )  Enqueue(p->Left, Q);
         
if ( p->Right != NULL )  Enqueue (p->Right, Q)
;  
         if ( Queue_front(Q) > Last ) {
            Last = Queue_rear(Q);
            if ( temp_width > max_width ) max_width = temp_width;
            
temp_width = 0
;
         } /* end-if */
      } /* end-while */
      return  max_width;
   } /* end-else */
} 

temp_width++
if ( p->Right != NULL ) Enqueue (p->Right, Q)
temp_width = 0


5-3
本函数的功能是从有N个元素的线性表A中查找第K大的元素。其中函数BuildMinHeap(H, K)是将元素H[1] … H[K]调整为一个最小堆。请完成下列填空。

ElementType FindKthLargest ( int A[], int N, int K )
{   /* it is assumed that K<=N */
    ElementType *H;
    int i, next, child;

    H = (ElementType *)malloc((K+1)*sizeof(ElementType));
    for ( i=1; i<=K; i++ ) H[i] = A[i-1];
    BuildMinHeap(H, K);

    for ( next=K; next<N; next++ ) {
        H[0] = A[next];
        if ( H[0] > H[1] ) {
            for ( i=1; i*2<=K; i=child ) {
                child = i*2;
                if ( child!=K && 
H[child+1]<H[child]
 ) child++;
                if ( 
H[0]>H[child]
 )
                    H[i] = H[child];
                else break;
            }
            H[i] = H[0];
        }
    }
    return H[1];
}

H[child+1] H[0]>H[child]


5-4
下列代码的功能是将存有N个元素的数组A[]调整为最小堆。

#define leftchild(i) ( 2*(i)+1 )

void BuildMinHeap( ElementType A[], int N )
{  int i, j, child;
   ElementType Tmp;

   for ( i = (N-1)/2; i >= 0; i-- ) {
      j = i;
      for ( Tmp = A[j]; leftchild(j) < N; j = child ) {
         child = leftchild(j);
         if (
child!=N-1 && A[child+1]<A[child]
)
            child ++;
         if (
Tmp > A[child]
)   A[j] = A[child];
         else  break;
      }
      
A[j] = Tmp
;
   }
}

child!=N-1 && A[child+1] Tmp > A[child]
A[j] = Tmp

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