ARC127 Sum of Min of Xor

题目大意

给定数组$\{A_n\}$和$\{B_n\}$，求${\sum }_{1\le i<j\le n}\min (A_i\oplus A_j,B_i\oplus B_j)$，$n\le 250000$

题解

这题还是很妙的，要求的东西看上去没什么关联，所以想办法找点关联，发现$A_i\oplus A_j\oplus B_i\oplus B_j$的最高位$1$的位置是$A_i\oplus A_j$和$B_i\oplus B_j$最高位不同的位置
设$C_i=A_i\oplus B_i$，考虑根据上面那条性质分治，每次把在当前位数$dep$为$0$的$C_i$放到一个集合中，为$1$的$C_i$放到另一个集合中，那么这两个集合之间$A_i\oplus A_j$和$B_i\oplus B_j$不同的最高位就是$dep$，判断它们的大小关系只需要判断它们在$dep$位上的大小关系，讨论一下算出贡献，再分治下去，分治的每一层算贡献的复杂度为$O(n\log n)$，分治深度为$O(\log n)$，所以总时间复杂度为$O(n{\log }^{2}n)$

code

#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
void read(int &res)
{
	res=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
	while('0'<=ch&&ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();
}
const int N=3e5+100,Bl=19;
int n,a[N+10],b[N+10],p[N+10],p0[N+10],p1[N+10],c[2][Bl+10],A[2][2][Bl+10],B[2][2][Bl+10];
ll solve(int l,int r,int dep=Bl)
{
	if(l>r) return 0;
	if(dep<0)
	{
		ll res=0;
		for(int i=0;i<=Bl;i++) c[0][i]=c[1][i]=0;
		for(int i=l;i<=r;i++)
		{
			for(int j=0,k;j<=Bl;j++) k=((a[p[i]]&(1<<j))!=0),res+=1ll*c[k^1][j]*(1<<j);
			for(int j=0,k;j<=Bl;j++) k=((a[p[i]]&(1<<j))!=0),c[k][j]++;
		}
		return res;
	}
	ll res=0;p0[0]=p1[0]=0;
	for(int i=l;i<=r;i++)
	{
		if((a[p[i]]^b[p[i]])&(1<<dep)) p0[++p0[0]]=p[i];
		else p1[++p1[0]]=p[i];
	}
	for(int j=0;j<=Bl;j++) for(int i=0;i<=1;i++) for(int k=0;k<=1;k++) A[i][k][j]=B[i][k][j]=0;
	for(int i=1,k1;i<=p0[0];i++)
	{
		k1=((a[p0[i]]&(1<<dep))!=0);
		for(int j=0,k;j<=Bl;j++)
		{
			k=((a[p0[i]]&(1<<j))!=0),A[k1][k][j]++,
			k=((b[p0[i]]&(1<<j))!=0),B[k1][k][j]++;
		}
	}
	for(int i=1,k1;i<=p1[0];i++)
	{
		k1=((a[p1[i]]&(1<<dep))!=0);
		for(int j=0,k;j<=Bl;j++)
		{
			k=((a[p1[i]]&(1<<j))!=0);
			res+=1ll*A[k1][k^1][j]*(1<<j);
			k=((b[p1[i]]&(1<<j))!=0);
			res+=1ll*B[k1^1][k^1][j]*(1<<j);
		}
	}
	for(int i=1;i<=p0[0];i++) p[l+i-1]=p0[i];
	for(int i=1;i<=p1[0];i++) p[l+p0[0]-1+i]=p1[i];
	int mid=l+p0[0]-1;
	res+=solve(l,mid,dep-1)+solve(mid+1,r,dep-1);
	return res;
}
int main()
{
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(b[i]);
	printf("%lld",solve(1,n,Bl));
	return 0;
}