深度学习：手写反向传播算法（BackPropagation）与代码实现
深度学习：手写反向传播算法（BackPropagation）
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- 前置知识回顾
- 前向传播
- 反向传播
- 代码实现
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前置知识回顾
损失函数：交叉熵
优化方法：SGD与GD
网络结构：多层感知机是如何运作的
链式法则：
前向传播
首先定义一个简单的三层全连接神经网络，其中为了方便运算，我们省略了激活函数与偏置系数b，网络结构如图所示：
下面我们开始前向计算： 
1.在这里我们发现，其中计算的结果也就是隐藏层神经元的数值z1与z2，那么不难看出，我们把这次计算的输出当作下次计算的输入，就可以计算出z3与z4，这样逐层传播，就是上述网络的前想传播过程。
2.当我们得到网络的结果矩阵z3与z4，下面我们要通过代价函数计算损失
为了方便运算，我们采用均方误差（MSE）来计算损失计算过程如下：
其中y假设为真实值。
上述过程就是前向计算的过程。
反向传播
计算完代价函数，我们就需要更新我们的参数，之前我们学习的梯度梯度下降法只能更新一层神经网络的参数，而在多层网络中，我们需要用到链式法则的知识来得到其他层参数的偏导数，就可以逐层更新参数。具体过程如下：
我们从后往前更新参数：
首先计算损失函数对第二层网络参数的偏导数
∣ ∂ l 1 ∂ w 5 ∂ l 1 ∂ w 7 ∂ l 2 ∂ w 6 ∂ l 2 ∂ w 8 ∣ = ∣ ∂ l 1 ∂ z 3 ∂ z 3 , ∂ w 5 ∂ l 4 ∂ z 3 ∂ z 3 ∂ w 7 ∂ l 2 ∂ z 4 ∂ z 4 ∂ W 6 ∂ l 2 ∂ z 4 ∂ z 4 ∂ W 8 ∣ \begin{vmatrix} \dfrac{\partial l_1}{\partial w_5} & \dfrac{\partial l_{1}}{\partial w_7} \\ \dfrac{\partial l_{2}}{\partial w_6} & \dfrac{\partial l_{2}}{\partial w_8} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \dfrac{\partial l_{1}}{\partial z_{3}}\dfrac{\partial z_3,}{\partial w_5} & \dfrac{\partial l_{4}}{\partial z_{3}}\dfrac{\partial z_{3}}{\partial w_7} \\ \dfrac{\partial l_{2}}{\partial z_{4}}\dfrac{\partial z_4}{\partial W_6} & \dfrac{\partial l_{2}}{\partial z_{4}}\dfrac{\partial z_4}{\partial W_{8}} \end{vmatrix} ∣ ∣∂w5∂l1∂w6∂l2∂w7∂l1∂w8∂l2∣ ∣=∣ ∣∂z3∂l1∂w5∂z3,∂z4∂l2∂W6∂z4∂z3∂l4∂w7∂z3∂z4∂l2∂W8∂z4∣ ∣
计算偏导数后，我们可以通过梯度下降法更新参数(这里假设a为学习率)：
∣ w 5 − a ∂ l 1 ∂ w 5 w 7 − a ∂ l 1 ∂ w 1 , w 6 − a ∂ l 2 ∂ w 6 w 8 − a ∂ l 2 ∂ w 8 ∣ = ∣ w 5 ∗ w 7 ∗ w 6 ∗ w 8 ∗ ∣ \begin{vmatrix} w_{5}-a\dfrac{ \partial l_{1}}{\partial w_5} & w_{7}-a\dfrac{\partial l_1}{\partial w_1}, \\ w_{6}-a\dfrac{\partial l_{2}}{\partial w_6} & w_{8}-a\dfrac{\partial l_{2}}{\partial w_8} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} w_{5*} & w_{7*}\\ w_{6*}& w_{8*} \end{vmatrix} ∣ ∣w5−a∂w5∂l1w6−a∂w6∂l2w7−a∂w1∂l1,w8−a∂w8∂l2∣ ∣=∣ ∣w5∗w6∗w7∗w8∗∣ ∣
接着，我们就继续向前跟新，这里损失函数对参数的偏导数为：
∂ l 1 ∂ w 1 = ∂ l 1 ∂ z 1 ∂ z 1 ∂ w 1 = ∂ l 1 ∂ z 3 ∂ z 3 ∂ z 1 ∂ z 1 ∂ w 1 \dfrac{\partial l_{1}}{\partial w_{1}}=\dfrac{\partial l_{1}}{\partial z_{1}}\dfrac{\partial z_{1}}{\partial w_1}=\dfrac{\partial l_{1}}{\partial z_{3}}\dfrac{\partial z_3}{\partial z_{1}}\dfrac{\partial z_{1}}{\partial w_{1}} ∂w1∂l1=∂z1∂l1∂w1∂z1=∂z3∂l1∂z1∂z3∂w1∂z1
有了偏导数，我们就可以重复上述操作，直至更新完所有参数。
代码实现
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F
x = torch.tensor([2.0,2.0],requires_grad=True)
class model(nn.Module):
def __init__(self,x):
super(model, self).__init__()
self.x = x
self.fc1 = nn.Linear(2, 2)
self.fc2 = nn.Linear(2, 2)
def forward(self):
x = self.fc1(self.x)
x = self.fc2(x)
return x
x = model(x).forward()
x = x.sum().backward()