机器学习系列：过拟合与正则化

目录

一、过拟合问题（The Problem of Overfitting）

1、回归问题中的过拟合问题

 2、分类问题中的过拟合问题

3、过拟合的解决方法

 二、正则化（Regularization）

1、代价函数

2、正则化线性回归问题（Regularized Linear Regression）

3、正规化的逻辑回归（Regularized Logistic Regression）

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一、过拟合问题（The Problem of Overfitting）

前面学习过了线性回归和逻辑回归问题，两种学习算法已经可以解决许多问题。但是当他们应用到某些特定的机器学习应用时，会遇到 过拟合（over-fitting）的问题，可能会导致学习效果很差。

1、回归问题中的过拟合问题

如果我们有许多的特征，可以通过学习得到的假设可能能够非常简单的适应训练集（代价函数可能几乎为0）,但是也可能会不能推广到新的数据。举例子说明：

从上面的图中可以看出：

• 第一个模型是一个线性模型，欠拟合（under-fitting），具有较大偏差（high bias），所以不能很好地适应训练集；
• 第三个模型是一个四次方的模型，过于强调拟合原始数据，而丢失了算法的本质：预测新数据。虽然能非常好地适应训练集，但在新输入变量进行预测时效果表现的很差。若给出一个新的值使之预测，它将表现的很差，是 过拟合（over-fitting）；
• 中间的模型似乎最合适。

 简单的说：

• 太简单----欠拟合，没有充分的挖掘数据间的规律
• 太复杂----过拟合，过分挖掘数据间的规律了

 2、分类问题中的过拟合问题

分类问题中也存在这样的问题：

就以多项式理解，x xx 的次数越高，拟合的越好，但相应的预测的能力就可能变差。那么出现了过拟合问题后，我们该如何处理呢？

3、过拟合的解决方法

• 丢弃一些不能帮助我们正确预测的特征。可以是手工选择保留哪些特征，或者使用一些模型选择的算法来帮忙（例如PCA）。（即减少特征数量）
• 正则化（Regularization）。 保留所有的特征，但是减少参数的大小。

 二、正则化（Regularization）

1、代价函数

以回归问题中的过拟合为例，假设过拟合的模型是：

从上面的问题中我们可知,正是高次项导致了过拟合的产生，所以如果我们能降低这些高次项的权重(接近于0)，即让其系数越小的话，模型就能很好的拟合了。

我们要做的就是在一定程度上减小这些参数的值，这就是正则化的基本方法。可以减少和的大小，做法是修改代价函数，在其中的 和 设置一点惩罚。这样的话就可以在尝试最小化代价时也需要将这个惩罚纳入考虑中，并最终导致选择最小的一些 和 。

修改后的代价函数为：

这样做的话，我们在尝试最小化代价函数时也需要将这个惩罚纳入考虑中，并最终导致选择较小一些的 和 ，对预测结果的影响就比之前要小许多。假如我们有非常多的特征，我们并不知道其中哪些特征要惩罚，那么将对所有的特征进行惩罚，并且让代价函数最优化的软件来选择这些惩罚的程度。这样的结果是得到了一个较为简单的能防止过拟合问题的假设：

其中 λ 又称为正则化参数（Regularization Parameter）。 注：根据惯例，我们不对进行惩罚。经过正则化处理的模型与原模型的可能对比如下图所示：
 

如果选择的正则化参数 λ 过大，则会把所有的参数都最小化了，导致模型变成，也就是上图中红色直线所示的情况，造成欠拟合。那么为什么会增加的一项可以使 θ 的值减小呢？因为如果我们令 λ 的值很大的话，为了使代价函数尽可能的小，所有λ 的值（不包括都会在一定程度上减小。

但是若 λ 的值太大了，那么 θ （不包括）都会趋近与0。这样我们所得到的的只能是一条平行与x轴的直线。所以对于正则化，我们要取一个合理的 λ  值，这样才能更好的应用正则化。

2、正则化线性回归问题（Regularized Linear Regression）

对于线性回归的求解，有两种学习算法：一种基于梯度下降，一种基于正规方程。分别讨论两种算法的正则化。

2.1、基于梯度下降的正则化

我们假设

正则化线性回归的代价函数为：

 如果我们要使用梯度下降法令这个代价函数最小化，即

因为我们未对进行正则化，所以梯度下降算法将分两种情形：
 对上面的算法中的 j = 1,2....n时的更新式子进行调整可得：

可以看出，正则化线性回归的梯度下降算法的变化在于：每次都在原有算法更新规则的基础上令 θ 值减小到原来的 倍。通常学习率 α 很小，样本数量 m 很大，因此。

2.2 、基于正规方程的正则化 

同样也可以利用正规方程来求解正则化线性回归模型。已知正规方程可以求出使代价函数取得最小值的  θ ：

 加入正则化后，正规方程变为：

并且当 λ > 0 时，括号内的矩阵一定是可逆矩阵，因此运用正则化还可以解决某些情况下矩阵 不可逆的问题。

3、正规化的逻辑回归（Regularized Logistic Regression）

针对逻辑回归问题，我们首先学习了使用梯度下降法来优化代价函数J(θ),有学习了更高级的优化算法（需要自行设计代价函数J(θ)）。

上面的公式为逻辑回归的代价函数。给代价函数增加惩罚项后，其正则化的表达式为：

要最小化该代价函数，通过求导，得出梯度下降算法为：

 注：看上去同线性回归一样，但是知道 ，所以与线性回归不同。